§ 5. Сходящиеся последовательности, их свойства

Определение 1. Последовательностьназывается сходящейся к числуа, если последовательностьявляется бесконечно малой. При этом числоаназываютпределом последовательностии пишутилипри.

Из определения 1 следует, что любая бесконечно малая последовательность сходится к нулю, так как=, то есть. В частности,и, в силу свойств бесконечно малых последовательностей,для любыхи.

Определение 2. Последовательностьназывается сходящейся к числуа, если для любогонайдется номерN, такой, чтодля всех значений.

Из определения 2 получаем, что предел любой постоянной величины А равен этой постоянной величине, то есть, так как для любогодля всех значений.

Определение 3. Последовательностьназывается сходящейся к числуа, если в любой-окрестности точкиа находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Определение 4. Числоа называетсяпределом последовательности, если для любогонайдется номерN, такой, чтодля всех значений.

Нетрудно заметить, что определения 1-4 равносильны.

Замечание. Из определения 1 следует, что если последовательностьсходится ка, то, где– бесконечно малая последовательность, отсюда. Верно и обратное, т.е. если последовательностьможно представить в виде суммы постояннойа и бесконечно малой последовательности, то последовательностьсходится к числуа. Действительно,по определению 1.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим, что последовательностьимеет два предела:с иd. Тогдаи, гдеи– бесконечно малые последовательности (см. замечание выше). Отсюда. Поскольку– бесконечно малая последовательность, по теореме 5 § 4. Теорема доказана.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. По определению 1 последовательностьбесконечно малая, по теореме 4 § 4она ограничена, то есть существует числоM> 0, такое, чтоодновременно ограничена и снизу и сверху, поэтому ограничена. Теорема доказана.

Теорема 3. Сумма (разность) сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, причем

.

Доказательство. Пусть. Тогда(см. замечание в начале параграфа и свойства бесконечно малых последовательностей). Теорема доказана.

Теорема 4. Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, причем

.

Доказательство. Имеем,, так как– бесконечно малая последовательность (см. замечание и свойства бесконечно малых последовательностей). Теорема доказана.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть.

Это очевидно, так как .

Теорема 5. Частноедвух сходящихся последовательностейи, таких, что, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, причем

.

Для доказательства теоремы 5 нам потребуется вспомогательное утверждение.

Лемма. Если последовательностьсходится к числу, то последовательностьограничена, где N – некоторое натуральное число.

Доказательство. Положим. По определению предела для него найдется номерN, такой, что для всехвыполняется неравенство, т.е.. Поскольку, тодля всех, т.е.исуществует при, а такжедля всех. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 5. Пусть. Тогда,. Рассмотрим= =. В последнем выражении первый множитель – бесконечно малая последовательность, второй и третий – ограниченная для всехпоследовательность. Поэтому– бесконечно малая последовательность, а так как, то. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь свойства сходящихся последовательностей, связанных знаком неравенства.

Теорема 6. Пустьи– две сходящиеся последовательности, имеющие одинаковый предела. Если, хотя бы начиная с некоторого номера, выполнено неравенство

, (5.1)

то последовательность – сходящаяся, причем.

Доказательство. Пусть, неравенствовыполняется, начиная с номера. Возьмемпроизвольно. Для него существуюти,такие, что

, (5.2)

. (5.3)

Положим . Тогдаодновременно выполнены все неравенства (5.1) – (5.3), значит,

,

то есть , следовательно,. Теорема доказана.

Теорема 6 часто называется «теоремой о сжатой переменной», или «теоремой о промежуточной переменной», или «теоремой о двух милиционерах». Мы ею часто будем пользоваться в дальнейшем.

Теорема 7. Если все члены двух сходящихся последовательностейи, по крайней мере, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству, то и пределы этих последовательностей удовлетворяют такому же неравенству, то есть.

Доказательство. Пусть,. Надо доказать, что. Предположим противное, т.е. что, и возьмем. Тогдаи. По определению предела последовательности для этогонайдутсяитакие, что

, откудадля всех,

, откудадля всех.

Обозначим . Тогда для всехэти неравенства выполняются одновременно и, следовательно,, т.е., что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы. Теорема доказана.

Следствие. Если, начиная с некоторого номера,то и().

Это очевидно, так как вместо одной из последовательностей можно рассмотреть постоянную последовательность .

Заметим, что если , то(). Например,для всехn, однако.

Теорема 8. Если(), то, начиная с некоторого номера,.

Действительно, если (), то, взяв окрестность точкиа, не содержащую точкуА, по определению 3 получим, что, начиная с некоторого номера, все члены последовательности попадут в эту окрестность, т.е. будут большеА (будут меньшеА).