§3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка
Д
ифференциальное
уравнение
которое связывает независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные, называется дифференциальным уравнением второго порядка.
Если уравнение второго порядка разрешено относительно старшей (второй) производной, то оно имеет вид:
Функция 
называется
решением уравнения, если при подстановке
она обращает его в тождество.
Функция 
,
зависящая от аргументаx и
двух произвольных постоянных 
называется
общим решением уравнения.
Если
общее решение уравнения получено в
виде 
не
разрешенном относительно искомой
функции, то это соотношение называетсяобщим
интегралом дифференциального
уравнения.
Всякое
решение 
уравнения,
получающееся из общего решения
при
конкретных значениях произвольных
постоянных
,
называетсячастным
решением.
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Интегрирование дифференциальных уравнений n-го порядка и в частности 2-го порядка (в конечном виде) удается произвести только в некоторых частных случаях.
Рассмотрим некоторые типы уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, т.е. позволяющие свести уравнение к системе двух уравнений первого порядка.
1. Рассмотрим уравнение вида
.
Общее
решение этого уравнения находится
методом двукратного интегрирования.
Умножая обе его части на 
и
интегрируя, получаем уравнение первого
порядка:
Повторяя эту операцию, получим общее решение исходного уравнения
Таким образом, общее решение исходного уравнения
.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Общее решение найдем двукратным интегрированием
Таким
образом, 
.
2. Рассмотрим уравнение вида
,
т.е.
уравнение, в запись которого явно
не входит искомая функция.
Такое уравнение можно решить, введя
новую неизвестную функцию 
.
Сделав замену переменной и учитывая,
что
получим
уравнение первого порядка, т.е. понизим
порядок исходного уравнения на одну
единицу. Если удастся отыскать общее
решение полученного уравнения первого
порядка, т.е.
,
то для нахождения общего решения
исходного уравнения необходимо решить
следующее дифференциальное уравнение
первого порядка
.
Это уравнение относится к первому типу и решается однократным интегрированием.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
Данное уравнение является уравнением,
не содержащим искомой функции. Сделаем
замену 
.
Тогда, учитывая, что
,
получим уравнение первого порядка
или 
.
Получили
линейное уравнением первого порядка,
которое решим методом Бернулли: 
,
.
Тогда
, 
,
1) 
,
и 2).
.
Первое уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными.
1) 
,
,
,
,
, 
,
,
.
Таким
образом, 
.
Подставим найденное значение во второе
уравнение и получим уравнение с
разделяющимися переменными
2) 
,
,
,
,
,
,
.
Таким
образом, решение второго уравнения 
.
Учитывая замену переменных, получим:
.
Таким
образом, 
.
3. Рассмотрим уравнение вида
,
т.е.
уравнение, в запись которого явно
не входит независимая переменная.
Такое уравнение можно решить, введя
новую неизвестную функцию 
.
Сделав замену переменной и учитывая,
что
,
где 
,
получим уравнение первого порядка
относительно новой искомой функцииp(y)
и новой независимой переменной y,
т.е. понизим порядок исходного уравнения
на одну единицу. Если удастся отыскать
общее решение полученного уравнения
первого порядка, т.е. 
,
то для нахождения общего решения
исходного уравнения необходимо решить
следующее дифференциальное уравнение
первого порядка
.
Это уравнение является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.
Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
с
начальными условиями 
.
Решение.
Данное уравнение является уравнением,
не содержащим явно независимую переменную.
Сделаем замену 
.
Тогда, учитывая, что
,
получим уравнение первого порядка
.
Учитывая,
что 
,
получим уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными
, 
,
,
,
, 
,
.
Так как необходимо найти частное решение данного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях, то при появлении произвольных постоянных в процессе решения уравнения, их можно сразу определять.
Определим
произвольную постоянную 
.
Так как
и
,
то в силу замены
получим
.
Подставим
и
в
полученное промежуточное решение
:
, 
.
Таким
образом, 
или
.
Так как
,
то
.
Получили уравнение первой степени с разделяющимися переменными.
, 
,
,
, 
.
Таким образом, общее решение примет вид:
.
Найдем
произвольную постоянную 
,
подставив
и
, 
Окончательно получаем общий интеграл
или общее решение
Ответ:
общее решение исходного уравнения 
.
4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение
где
коэффициенты 
–
постоянные, называетсялинейным
дифференциальным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Если 
,
то уравнение называетсянеоднородным.
Если 
,
то уравнение называетсяоднородным.
I. Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Общим решением этого уравнения является функция
где 
–
фундаментальная система решений
уравнения.
Фундаментальной системой решений называется всякая система линейно независимых решений, содержащая столько функций, каков порядок дифференциального уравнения.
Функции 
называютсялинейно
зависимыми в
интервале 
,
если существуют постоянные числа
,
не все равные нулю, такие что
для
любых
.
Если же указанное тождество выполняется
только в случае, когда
и
,
то функции
называютсялинейно
независимыми в
интервале 
.
Кратко критерий
линейной независимости может
быть сформулирован следующим образом:
функции 
являются
линейно независимыми, если определитель
Вронского
отличен
от нуля. В противном случае функции 
линейно
зависимы.
Алгоритм нахождения общего решения однородного уравнения (17):
1)
составляют соответствующее ему
характеристическое уравнение (заменяя
в однородном уравнении производные от
искомой функции на k в
соответствующей степени, то
есть 
на
,
на
и
на
)
Полученное
квадратное уравнение может иметь (в
зависимости от дискриминанта 
)
два различных действительных решения,
два совпадающих (кратный корень)
действительных решения и пару
комплексно-сопряженных решений;
2) в зависимости от корней характеристического уравнения выделяются частные решения (соответствующие корням характеристического уравнения), образующие фундаментальную систему решений и записывается соответствующее общее решение.
|
|
Корни характеристического уравнения |
Частные решения |
Общее решение однородного дифференциального уравнения |
|
I |
Два
действительных и различных корня,
т.е. |
|
|
|
II |
Два
действительных и совпадающих корня,
т.е. |
|
|
|
III
|
Два
комплексно сопряженных решения, т.е. |
|
|
,
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
a) 
,
b)
,
c) 
.
Решение. Во всех трех случаях имеем однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение найдем по приведенному выше алгоритму.
Пример
a. 
Составим характеристическое уравнение
и решим его
; 
;
.
Характеристическое уравнение имеет два различных действительных решения, т.е. имеем первый случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения
, 
и получить общее решение исходного дифференциального уравнения
Сделаем проверку найденного общего решения. Для этого найдем первую и вторую производную от общего решения
,
,
.
Подставим общее решение вместе с найденными производными в исходное уравнение
Пример
b. 
Составим характеристическое уравнение
Не сложно заметить, что в правой части уравнения записан полный квадрат разности
Откуда
получим 
(аналогичный
результат можно было получить, используя
обычный метод решения квадратных
уравнений).
Характеристическое уравнение имеет два совпадающих действительных решения (или один действительный корень кратности два), т.е. имеем второй случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения
, 
и получить общее решение исходного дифференциального уравнения
Пример
c. 
Составим характеристическое уравнение
и решим его
;
;
.
Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных решения, т.е. имеем третий случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения
, 
и получить общее решение исходного дифференциального уравнения
.
II. Рассмотрим теперь решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (16):
.
В общем случае это уравнение может быть решено методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа). Алгоритм нахождения решения методом Лагранжа состоит в следующем:
1. Находим общее решение однородного линейного уравнения (17), соответствующего исходному неоднородному уравнению (16)
.
2. Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде общего решения однородного уравнения, считая, что произвольные постоянные являются функциями независимой переменной x, т.е. в виде
.
При
этом функции 
могут
быть найдены как решения системы
которая
является линейной системой двух
алгебраических уравнений с двумя
неизвестными относительно 
.
Определитель этой системы является
определителем Вронского, который отличен
от нуля, если
образуют
фундаментальную систему решений. Поэтому
система двух алгебраических уравнений
с двумя неизвестными имеет единственное
решение
.
Интегрируя полученные равенства, найдем
функции
и
тем самым получим общее решение исходного
неоднородного уравнения.
Метод вариации произвольных постоянных достаточно сложен, поэтому в ряде случаев, когда правая часть имеет специальный вид, можно использовать другой метод – метод неопределенных коэффициентов, воспользовавшись следующим утверждением о структуре общего решения неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения.
Общее
решение 
линейного
неоднородного дифференциального
уравнения (16) равно сумме общего
решения
соответствующего
однородного уравнения (17) и частного
решения
исходного
неоднородного уравнения (16), т.е.
.
Общее
решение 
линейного
однородного уравнения находим по
алгоритму, приведенному выше. Далее
необходимо найти частное решение
неоднородного уравнения. В некоторых
случаях вид частного решения устанавливается
по правой части исходного неоднородного
уравнения.
Если правая часть дифференциального уравнения имеет вид
где 
–
многочлены степениn и m соответственно, а и b –
некоторые постоянные числа, то частное
решение неоднородного уравнения будет
иметь следующую структуру:
где 
–
многочлены степени
,
записанные с неопределенными
коэффициентами;r –
равно числу корней характеристического
уравнения (18), совпадающему с числом 
.
Таким образом,
,
если среди корней характеристического
уравнения
нет
числа
;
,
если существует один корень
характеристического уравнения
или
,
совпадающий с числом
;
,
если существует двукратный корень
характеристического уравнения,
совпадающий с числом
.
Зная структуру частного решения неоднородного уравнения, неизвестными которого являются только коэффициенты многочленов, подставим его вместе с производными в исходное уравнение и, приравнивая коэффициенты подобных членов слева и справа, получаем необходимое количество линейных алгебраических уравнений для вычисления этих неизвестных коэффициентов.
Таким образом, для правой части специального вида общее решение дифференциального уравнения может быть легко найдено с помощью элементарных операций, таких как дифференцирование и решение линейных алгебраических уравнений, не прибегая к операции интегрирования, которая необходима в методе вариации произвольных постоянных.
Частными случаями правой части специального вида дифференциального уравнения являются следующие:
1) 
,
которая получается из общего случая
при
;
2) 
,
которая получается из общего случая
при
;
3) 
,
которая получается из общего случая
при
.
В заданиях 4 и 5 необходимо найти общие решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, в которых правая часть имеет специальный вид. Эти задания можно решать как методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа), так и методом неопределенных коэффициентов. По нашему мнению, последний метод предпочтительнее, так как в нем не требуется применять операцию интегрирования. При решении задания 4 будут показаны оба метода. В задании 5 будет проиллюстрирован только один метод – метод неопределенных коэффициентов.
Задание 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.
Сделать проверку.
Решение. Имеем обыкновенное дифференциальное уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Решим данное уравнение двумя способами: первый способ – метод неопределенных коэффициентов (правая часть специального вида); второй способ – метод вариации произвольных постоянных.
vПервый
способ.
Общее решение 
исходного
линейного неоднородного дифференциального
уравнения имеет вид:
.
где
–
общее решение соответствующего
однородного уравнения,
–частное
решение исходного неоднородного
уравнения.
а)
Найдем 
–
общее решение соответствующего
однородного уравнения, т.е. уравнения
.
Для
этого составим характеристическое
уравнение, заменив в нем 
на
,
на
и
на
:
Решая
квадратное уравнение, получим корни
характеристического уравнения 
,
.
Эти корни являются действительными и
различными, поэтому фундаментальная
система решений, соответствующая этим
корням, будет иметь вид
,
.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения определяется формулой:
.
б)
Найдем 
–
частное решение исходного неоднородного
уравнения. Для этого рассмотрим правую
часть исходного неоднородного уравнения
.
Правая
часть исходного уравнения будет иметь
специальный вид, если 
,
,
,
т.е.
,
,
т.е.
.
Так как правая часть имеет специальный
вид, структура частного решения в общем
случае будет иметь вид:
.
Так
как 
и
число
,
то
.
Так как
и
,
то
,
т.е.
,
.
Тогда структура частного решение
исходного неоднородного уравнения с
неопределенными коэффициентами будет
иметь вид:
Коэффициенты A и B определим методом неопределенных коэффициентов. Для этого найдем первую и вторую производные от частного решения
Подставим найденные выражения в исходное уравнение:
Разделим
обе части на 
и
приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях переменной, т.е. при
,
и
.
Получим систему, из которой найдем
коэффициенты
и
.
Таким образом,
или
Решая
систему двух линейных алгебраических
уравнений с двумя переменными,
получим 
,
.
Тогда частное решение
Общее решение исходного неоднородного уравнения определяется формулой
Таким
образом, 
Сделаем проверку.
Подставим 
,
,
в
исходное уравнение
Получили верное равенство.
vВторой способ a) Запишем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения (как это было сделано в первом способе в пункте a):
.
б) Будем искать общее решение неоднородного линейного уравнения в виде общего решения однородного линейного уравнения, считая, что произвольные постоянные являются функциями независимой переменной x, т.е. в виде
.
Функции 
могут
быть найдены из решения системы
где 
,
,
,
,
,
т.е.
, 
.
Таким образом,
, 
.
Тогда
Обозначив
через 
,
окончательно получим
Ответ: общее
решение 
Задание 5. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку.
Решение. Данное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его
общее решение 
имеет
вид:
.
где
–
общее решение соответствующего
однородного уравнения,
–частное
решение исходного неоднородного
уравнения.
а).
Найдем 
–
общее решение соответствующего
однородного уравнения, т.е. уравнения
.
Для
этого составим характеристическое
уравнение, заменив в нем 
на
,
на
и
на
:
.
Решая
квадратное уравнение (
,
,
),
найдем корни характеристического
уравнения
,
т.е.
и
.
Имеем два комплексно-сопряженных корня
(третий случай), поэтому фундаментальная
система решений, соответствующая этим
корням, будет иметь вид:
,
.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения определяется формулой:
.
б)
Найдем 
–
частное решение исходного неоднородного
уравнения. Для этого рассмотрим правую
часть исходного неоднородного уравнения
.
Правая
часть исходного уравнения будет иметь
специальный вид, если 
,
,
,
т.е.
,
,
т.е.
.
Так как правая часть имеет специальный
вид, то структура частного решения в
общем случае будет иметь вид:
.
,
т.е. 
,
.
Тогда структура частного решение исходного неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами будет иметь вид:
,
.
Коэффициенты A и B определим методом неопределенных коэффициентов. Для этого подставим частное решение с неопределенными коэффициентами в исходное уравнение, предварительно вычислив первую и вторую производные
Тогда
Таким образом,
Разделим
обе части равенства на 
и
приравняем коэффициенты при
и
.
Получим систему, из которой найдем
коэффициенты
и
.
Таким образом,
или
Тогда частное решение
Общее решение исходного неоднородного уравнения определяется формулой
Таким
образом, 
Проверка выполняется аналогично тому, как это было показано в задании 4.