§ 2. Дифференцируемость функции комплексной переменной.

        Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f(z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точкеz, называется дифференцируемой в этой точке.          В этом определении важно, что стремление Δz → 0 может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.          Опр. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.          Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.          Примеры. 1. f(z) = z ². В этом случае f (z + Δz) = (z + Δz)² = z ² + 2 z·Δz + (Δz) ²; . Таким образом , эта функция дифференцируема в любой точке, и её производная равна 2z.  2.f(z) = | z |² = x² + y². Докажем, что эта функция не имеет производной ни в какой точке z ≠ 0. Будем стремить Δz → 0 по двум путям: по прямой, параллельной действительной оси Ох (в этом случае Δz = Δx), и по прямой, параллельной мнимой оси Оу (в этом случае Δz = i Δy). В первом случае ,во втором . Эти пределы равны, только если2х = −2iy ⇒ х = y = 0. Таким образом, функция f(z) = | z |² = x² + y² может быть дифференцируема в единственной точке z = 0, во всех остальных точках пределы различны в зависимости от способа стремления Δz → 0, т.е. не существует.          Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).

Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.          Для того, чтобы функция w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z) были дифференцируемы в точке (х,у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения .         Доказательство. Необходимость. Здесь мы применим идею, которой воспользовались, когда доказывали, что функция f(z) = | z |² = x² + y² не имеет производных в точках z ≠ 0: подойдём к точке z двумя путями - по направлениям Δz = Δх (Δy = 0) и Δz = iΔy (Δx = 0).          В первом случае: Δw = (u(x + Δx, y) + iv(x + Δx, y)) − (u(x, y) + iv(x, y)) =  = (u(x + Δx, y) − u(x, y)) + i(v(x + Δx, y) − v(x, y)) = Δ_xu + iΔ_xv; .          Во втором случае: (напомню, что) Δw = (u(x, y + Δy) + iv(x, y + Δy)) − (u(x, y) + iv(x, y)) =  = (u(x, y + Δy) − u(x, y)) + i(v(x, y + Δy) − v(x, y)) = Δ_yu + iΔ_yv; . Пределы должны быть равны, поэтому.         Достаточность. По предположению теоремы, функции u(x, y), v(x, y) дифференцируемы в точке (х,у), поэтому где α(Δx, Δy), β(Δx, Δy) - бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с , т.е.,. Найдём..          Последнее слагаемое - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с

Δz = Δx + iΔy: 

; далее, в предыдущих слагаемых, пользуясь формулами Коши-Римана, оставим только частные производные по х, т.е. заменим на,на; тогда. Отсюда следует, что существует, т.е. функция дифференцируема в точке (х,у).          Производная дифференцируемой функции может находиться по любой из формул , эти равенства следуют из условий Коши-Римана. При вычислении производных можно пользоваться всеми правилами действительного анализа:

(в точках, где g(z) ≠ 0. 

Примеры вычисления производных.           1. Выше мы доказали, что функция f(z) = z²имеет производную, равную 2z, в каждой точке. Проверим, что для этой функции выполняются условия Коши-Римана. Так какw = z² = (x + iy)² = x² - y² + 2 ixy, то . Тогда.          2. Для функцииw = e ^z мы получили u(x, y) = e ^z cos y, v(x, y) = e ^z sin y. Поэтому , т.е. функция дифференцируема..Геометрический смысл производной. 

Равенство означает, что Δw = f ′(z)·Δz + γ(Δz)·Δz, где γ(Δz) → 0 при Δz → 0. Отсюда, в частности, следует, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Будем писать Δw ≈ f ′(z)·Δz, пренебрегая слагаемым высшего порядка малости. Пусть в точке z существует f^'(z) ≠ 0. Возьмём точки z и z + Δz; пусть w = f(z), тогда Δw ≈ | f ^′(z)|·e ^{i arg f ′ (z)}·Δz = | f ^′(z)|·|Δz|·e ^{i (arg f ′ (z) + arg Δz)}. Таким образом, |Δw| в |f ^′(z)| больше |Δz|, arg Δw больше arg Δz на arg f ^′(z)для любого arg Δz (с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Следовательно, в окрестности любой точки z, в которой

 f ^′(z) ≠ 0 отображение z → w = f (z) действует следующим образом: любой вектор растягивается в |f ^′(z)| раз и поворачивается на угол arg f ^′(z). 

Конформность дифференцируемого отображения.          Пусть через точку z проходят две гладкие кривые L₁ и L₂, касательные l₁ и l₂ к которым образуют с осью Ох углы, соответственно, θ₁ и θ₂. Образы этих кривых L^'₁ и L^'₂ при дифференцируемом отображении z → w = f (z) имеют касательные l₁^' и l₂^', образующие с действительной осью Ou углы θ₁^' и θ₂^'. Согласно предыдущему пункту,θ₁^' = θ₁ + arg f ^'(z), θ₂^' = θ₂ + arg f ^'(z), т.е. θ₂^' − θ₁^' = θ₂ − θ₁. Таким образом, дифференцируемое отображение при f ^'(z) ≠ 0сохраняет углы между кривыми. Сохраняется и направление отсчёта углов (т.е. если θ₂ > θ₁, то θ₂^' > θ₁^').  Любое преобразование плоскости в плоскость, обладающее эти свойством (т.е. свойством сохранения углов), называется конформным. Если при этом сохраняется направление отсчёта углов, то преобразование называетсяконформным преобразованием первого рода; если направление отсчёта углов меняется на противоположное, то преобразование называется конформным преобразованием второго рода. Мы доказали, что аналитическая в некоторой области G функция w = f(z) осуществляет конформное отображение первого рода во всех точках, в которых производная отлична от нуля.          Пример конформного отображения второго рода – недифференцируемая функция .

Гармоничность действительной и мнимой частей аналитической функции. Дифференцируя первое соотношение Коши-Римана по переменнойх, второе соотношение по переменнойу, получим , т.е. Δu = 0 (Δ - оператор Лапласа), т.е. u(x, y) - гармоническая функция. Дифференцируя первое соотношение Коши-Римана по переменной у, второе соотношение по переменной х, получим , т.е. Δv = 0, т.е. v(x, y) - тоже гармоническая функция. Пара гармонических функций, связанных соотношениями Коши-Римана, называется сопряжёнными функциями. Легко доказать, что для любой гармонической в односвязной области D функции u(x, y) существует единственная (с точностью до постоянного слагаемого) сопряжённая с ней гармоническая функция v(x, y), т.е. такая функция, чтоw = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) - аналитическая функция; и наоборот, для любой гармонической v(x, y) существует сопряжённая с ней гармоническая u(x, y). Пусть, например, дана u(x, y), обозначим . Эти функции удовлетворяют условию, т.е. векторное полепотенциально. Функциюv(x, y) можно найти теперь из системы (как это делается при решении уравнения в полных дифференциалахP(x, y)·dx + Q(x, y)·dx = 0), и как потенциальную для поля функцию.

Пример восстановления аналитической функции по ее действительной (мнимой части).          В качестве примера рассмотрим задачу, аналогичную задаче 5 из домашнего задания. Может ли функция v(x, y) = e ^-y(xcos x - ysin x) быть мнимой частью некоторой аналитической функции w = f(z)? В случае положительного ответа найти функцию w = f(z).          Решение. Докажем, что v(x, y) - гармоническая функция.  v_x′ = e ^{- y}(cos x − x sin x − y cos x); v_xx″ = e ^{- y}(−sin x − sin x − x cos x + y sin x) =

= e ^{- y}(−2 sin x − x cos x + y sin x); v_y′ = −e ^{- y}(x cos x − y sin x + sin x); 

v_yy″ = e ^{- y}(x cos x − y sin x + sin x + sin x) =

= e ^{- y}(−2 sin x − x cos x + y sin x); , т.е.v(x, y) - гармоническая функция и, следовательно, может являться мнимой частью аналитической функции.  Найдём эту функцию. Для действительной части u(x, y) справедливы соотношения

− e− y y cos x + e− y cos x = − e− y( x sin x + y cos x) + φ(y),

для нахождения φ(y) используем второе уравнение системы: φ ^′(y) = 0 ⇒ φ(y) =  C = const.          Формально мы можем выписать w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) = 

= e ^–y [- (xsin x + ycos x) + i(xcos x - ysin x)] + C, но толку в этой записи нет, так как не видна зависимость f от z. Поэтому сделаем по-другому. Выпишем производную f ^′(z): . На действительной оси (приу=0, т.е при z = x) функция w = f(z) превращается в функцию действительной переменной f(x), её производная - в f ^′(x). Положим в f ^′(z) у = 0, x = z : f ^′(z)|y = 0, z = x = −e^−y[(x cos x − y sin x + sin x) + i(cos x − x sin x − y cos x)]|y = 0, z = x = − z cos z − sin z + i(cos z − z sin z); проинтегрировав это выражение, получим f(z).          Техника нахождения неопределённых интегралов в теории функций комплексной переменной в основном та же, что и в математическом анализе; таблица основных интегралов в обоих случаях одинакова, поскольку одинакова таблица производных. Поэтому = −z sin z + iz cos z + C = iz (cos z + i sin z) + C = iz e ^iz + C, где С – произвольная вещественная постоянная интегрирования. Постоянная интегрирования будет действительной, если по условию задачи задана функция v(x, y), и с точностью до произвольной постоянной находится действительная часть u(x, y) функции f(z); если же задана функция u(x, y), то с точностью до произвольной постоянной интегрирования находится мнимая часть v(x, y), т.е постоянная будет чисто мнимым числом Ci (C - произвольное вещественное число).          Проверим полученный результат. Если f(z) = iz e ^iz + C, то f(z) = (ix − y) e^ix − y + C = = e^−y(ix − y)(cos x + i sin x) + C = i e^−y x cos x − e^−y x sin x − e^−y y cos x − i e^−y y sin x + C = ;; условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функцияf(z) = iz e ^iz + C - аналитическая на всей комплексной плоскости функция.          Во всех этих рассуждениях мы проигнорировали вопрос о том, имеют ли функции u и v производные порядка выше первого? (Существование первых производных следует, как мы видели, из дифференцируемости f(z)). Дальше мы докажем, что, в отличие от действительного случая, ФКП обладает удивительным свойством - если она аналитична в некоторой области (т.е. в каждой точке этой области имеет первую производную), то она бесконечно дифференцируема в этой области (т.е. в каждой точке этой области она имеет производную любого порядка). Как следствие, функции u и v тоже бесконечно дифференцируемы.

 

130