Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Математика

Файл:

Элементы высшей математики. Часть 3. Горбунов В.В., Соколова О.А

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

954 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Среди правильных рациональных дробей можно выделить четыре типа дробей, называемых простейшими:

1.	A	,	2.	A	,	3.	Ax + B	,	4.	Ax + B	,
	x − a			(x − a)k			x2 + px + q			(x2 + px + q)k

где A, B, p, q − действительные числа, а трёхчлен x2 + px + q

имеет отрицательный дискриминант, т.е. p2 − q < 0 . 4

Простейшие дроби интегрируются несложным образом:

1. ∫ x −Aa dx = A∫d(xx−−aa) = Aln x − a +C ;

2. ∫		A		dx = A∫(x − a)−k dx = A		(x − a)−k +1	+C =
	(x − a)		k			− k +1

= −				A	+C ;
		(k −1)(x − a)k −1

3. ∫ 2 Ax + B dx = I3 . x + px + q

4. Простейшие дроби четвертого типа рассматриваться здесь не будут.

1.8. Разложение правильной дробно–рациональной функции на сумму простейших дробей

Теорема: Всякую правильную рациональную дробь QP((xx)), знаменатель которой разложен на множители

Q(x)= (x − x1 )k (x − x2 )l ...(x2 + p1x + q1 )S (x2 + p2 x + q2 )p ...,

можно представить единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:

P(x)

... +

Q(x)

x − x1

− x )2

(x − x )k

+... +

+...

(x − x2 )

(x − x

2 )2

(x − x

2 )l

M1x + N1

M 2 x + N2

+... +

M S + NS

x2 + p1x + q1

(x2 + p1x + q1 )2

(x2 + p1x + q1 )S

P1x +Q1

P2 x +Q2

+...+

PP +QP

+...,

x2 + p2 x + q2

(x2 + p2 x + q2 )2

(x2 + p2 x + q2 )P

где A1, A2 ,...,Qp

- некоторые действительные числа,

находя-

щиеся по методу неопределённых коэффициентов.

Суть метода неопределенных коэффициентов сводится к тому, что предыдущее равенство приводится к общему знаменателю, после чего тождественно приравниваются числители правой и левой части. Условие тождественности означает равенство коэффициентов при одинаковых степенях x слева и справа, из чего и получается система уравнений относительно

искомых чисел A1, A2 , B1… и т.д.

Пример 1.8.1. Вычислить интеграл∫ x(xx−+12)2 dx.

Решение: Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей.

x +1		A		B		C
	=		+		+		.
x(x − 2)2	=	x	+	x − 2	+	(x − 2)2	.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.

A	+	B	+	C	=	A(x − 2)2 + Bx(x − 2)+Cx	=
		x − 2		(x − 2)2		(x − 2)2 x
x

= (A + B)x2 + (− 2A −22B +C)x + 4A ,

(x − 2) x

(A + B)x2 + (− 2A − 2B +C)x + 4A = x +1.

Приравнивая одинаковые коэффициенты, получим систему уравнений:

A + B = 0

A = 1

, B = − 1

, C =1+ 2A + 2B =1 .

−2A −2B +C =1

4A =1

Подставим найденные коэффициенты в разложение ра-

циональной функции:

x +1

−

(x-2)2 x

4(x − 2)

(x − 2)2

Искомый интеграл представляется в виде суммы интегра-

ловот простейших дробей:

x +1

∫

−

x(x − 2)

2 dx = ∫

4(x − 2)

dx =

(x − 2)

x − 2

+C .

4 ln

−

4 ln

−

(x − 2)

Пример 1.8.2. Вычислить интеграл ∫

dx .

+1)(x

+ x +1)

Решение: Разложим правильную рациональную дробь на

простейшие

A(x2 + x +1)+ Bx(x +1)+C(x +1)

Bx +C

(x +1)(x2 + x +1)

x +1

x2 + x +1

Приравняем числители:

A(x2 + x +1)

+ B(x2 + x)+C(x +1)=1.

x2 x1 x0

A + B = 0

A + B +C = 0 B = −A, C =1− A, A − A +1− A = 0, .

A +C =1

A =1, B = −1, C = 0.

Подставим найденные коэффициенты в разложение рациональной функции:

																						1																	1										x					.
														(x +1)(x2 + x +1)=																												−
														(x +1)(x2 + x +1)=																						x +1						−			x2 + x +1
				Окончательно получим:
∫					1								dx = ∫					dx					−∫								x				dx = ln								x +1					−	∫					xdx					=
					1													dx													x																							xdx
						2											x +1											2																												1		3
	(x +1)(x					2		+ x +1)																			x	2		+ x +1																				x		2	+ x +				+
	(x +1)(x							+ x +1)																			x			+ x +1																						2
																																																								4		4
												x +			1			−			1																												1								1
												x +						−						dx																				x +							d x +
															2						2																							x +					2		d x +						2
= ln				x +1				− ∫																					= ln					x +1							− ∫																		+

															1				2		+				3																											1		2	+	3
															1				2						3																											1		2		3
											x +				2										4																						x +					2				4
															2										4																											2				4
									1																								1				2				3																1
								+	1																								1						+		3															+	1
					d x			+																		d			x +										+															2 x		+
+	1	∫							2				= ln			x +1				−			1		∫								2								4		+				2		arctg								2		=
	1								2														1										2								4						2										2
	2								2														2												2
						1			2	3																						1			2					3						2 3										3
						1			+	3																						1							+	3						2 3										3
				x +		2			+	4																		x +				2							+	4
						2				4																						2								4
= ln			x +1				−		1 ln(x2 + x +1)+																	1					arctg							2x +1							+C.
																										1												2x +1

									2																			3													3
									2																			3													3

1.9. Интегрирование тригонометрических выражений

Рассмотрим случаи интегрирования тригонометрических функций. Рациональную функцию переменных sin x и cos x

обозначим R(sin x,cos x). Пусть надо вычислить неопределенный интеграл:

∫R(cos x,sin x)dx .

Вычисление

неопределенных

интегралов

∫R(cos x,sin x)dx

помощью

универсальной

подстановки

= t сводится

вычислению

интегралов

от

дробно–

рациональной функции относительно t.

Действительно,

2tg

1−tg

2 x

1−t 2

sin x =

cos x =

+tg

2 x

1+t 2

1+tg

2 x

1+t 2

2dt

x = 2arctgt;

dx =

Поэтому

1+t 2

∫R(cos x,sin x)dx

1−t 2

= 2∫R

1+t

2 .

Пример 1.9.1. Вычислить интеграл ∫

3 +sin x + cos x

= t

Решение:

∫

3 +sin x + cos x

2dt

dx =

1+t 2

= ∫

2dt

= ∫

2dt

1 −t

3t + 3 + 2t +1 −t

3 +

+1)

2dt

d t +

= ∫

+ 2t + 4

+ t + 2

−

+ 2

t +

arctg 2t

2tg

+C =

arctg

+C .

В силу громоздкости универсальной тригонометрической

подстановки полезно знать другие подстановки, которые быст-

рее приводят к цели.

Если подынтегральная функция не изменяется при одно-

временном

изменении

знака

sin x

cos x ,

т.е.

R(−cos x,−sin x)= R(cos x,sin x)

тогда

помощью

замены

tgx = t подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию относительно переменной t . В этом случае

sin

x =

tg 2 x

t 2

, cos

x =

1+tg 2 x

1+t 2

+tg 2 x

+t 2

x = arctgt, dx = t 2dt+1.

Пример 1.9.2. Вычислить интеграл ∫ 2 1 dx . sin x +sin x cos x

Решение:

tgx

= t

dx =

∫sin

x +sin x cos x

x +sin 2x

dx =

1+t

d t +

= = ∫

=∫

= ∫

t 2

+ t

+ t +

−

t 2

t 2 +1

				1		1
	1	2 ln	t +	2	−	2		t		tgx
=	1			2		2	+C = ln	t	+C = ln	tgx	+C.
=	2			1		1	+C = ln	t +1	+C = ln	tgx +1	+C.
	2	1		1		1		t +1		tgx +1
			t +	2	+	2
			t +		+

Пример 1.9.3. Вычислить интеграл ∫

sin

x cos

x = arctgt

t 2 +1

Решение:

∫

sin

x cos

dx =

(1+t 2 )2

+1 t

= ∫

dt = ∫

dt = −

+ 2t +

+C =

−1

+ 2tgx +

tg 3 x

+C.

tgx

Если функция R(sin x,cos x) нечётна относительно sin x :

R(cos x,−sin x)= −R(cos x,sin x),

тогда

помощью

замены

cos x = t

подынтегральная

функция

преобразуется

рацио-

нальную функцию относительно переменной t .

Пример 1.9.4. Вычислить интеграл ∫

sin x cos2 x

dx .

sin2 x +1

Решение:

sin x cos

x dx

cos x

= t

− 2 + 2 dt =

= −

∫

sin

x +1

−sin xdx

2 −t

− 2

= dt

−

= ∫ 1

dt =t + 2∫

= t

+C =

−

− 2

2 2

+ 2

= cos x +

cos x −

+C.

cos x +

Если функция R(sin x,cos x) нечётна относительно cos x : R(−cos x,sin x)= −R(cos x,sin x), тогда с помощью замены

sin x = t подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию относительно переменной t .

Пример 1.9.5. Вычислить интеграл ∫sin2 x cos xdx . sin x +1

Решение:

∫

sin

x cos xdx =

sin x = t

∫

dt =

∫

−1+1dt =

sin x +1

t +1

cos xdx = dt

sin2 x

= ∫ t −1+

dt =

−t +ln

t +1

+C =

−sin x +ln

sin x +1

t +1

Интегралы вида ∫sin2n x cos2m x dx ,

∫sin2n x sin2m x dx ,

∫cos2n x cos2m x dx

вычисляются с помощью тригонометриче-

ских формул понижения степени

cos2 x = 1+ cos 2x , sin2 x =

1−cos 2x .

Пример 1.9.6. Вычислить интеграл ∫sin4 xdx.

Решение:

∫sin

xdx =∫

1−cos 2x

∫(1− 2cos 2x + cos

2x)dx =

dx =

1+cos 4x

−

2cos 2x

cos 4x

∫ 1− 2cos 2x +

∫

dx =

∫dx −

∫cos 2xdx + 1∫cos 4xdx =

−

sin 2x

sin 4x +C.

Интегралы вида ∫sin ax cosbx dx , ∫sin ax sin bx dx ,

∫cos ax cosbx dx вычисляются с помощью тригонометрических формул умножения:

sinα cos β = 12 (sin(α + β)+sin(α − β)), cosα cos β = 12 (cos(α + β)+ cos(α − β)), sinα sin β = 12 (cos(α − β)−cos(α + β)).

Пример 1.9.7. Вычислить интеграл ∫sin10x cos3xdx.

Решение:

∫sin10x cos3xdx = 12 ∫(sin(13x)+sin(7x))dx = −261cos13x −141 cos 7x +C.

1.10. Интегрирование иррациональных функций

Вычисление интегралов вида ∫R(x, mx, nx,...)dx произво-

дится с помощью замены x = tW , где W является наименьшим общим кратным чисел m, n,.... Данная замена позволяет перей-

ти к интегрированию дробно-рациональной функции:

dx =Wt

W −1

dt ,

∫R(x,

x,...)dx

W −1

dt .

= ∫R t

,... Wt

Пример 1.10.1. Вычислить интеграл ∫

Решение:

x +

+1)−1

x = t

∫

x +

= ∫

= 6∫

t +1

= 6∫

t +1

dx =

= 6 ∫(t

−t +1)dt − ∫

−

+t −ln

t +1

+C =

= 6

= 2t3 −3t 2 + 6t −6ln t +1 +C = 2x −33x + 6 6x −6ln 6x +1 +C .

=ξ(t),


	m	ax +b		n	ax +b
	m		;	n
Вычисление интегралов ∫R x;		cx + d	;		cx + d	;... dx
		cx + d			cx + d

осуществляется с помощью дробно-линейной подстановки

ax +b = tW , где W является наименьшим общим кратным чи- cx + d

сел m, n,....

Тогда ax +b = cxtW + dtW , x = taW−dct−Wb

dx =ξ′(t)dt = (WtW −1d(a −ct(W )+ (tW)2d −b)cWtW −1 )dt. a −ctW

Поскольку ξ(t) является рациональной функцией, то и ξ′(t) является рациональной функцией. В результате получается интеграл от рационального выражения:

tW d −b

W W

ax +b

∫R x;m

+ d

cx + d

;... dx = ∫R

W ,t m ,t m ,...

ξ′(t)dt.

a −ct

Пример 1.10.2. Вычислить интеграл ∫

x + 2

dx.

(x − 2)2

x − 2

Решение: Поскольку

x + 2

= t

x + 2

= xt

− 2t

, x =

2t3 + 2

x − 2

−1

(t3

−1)− (2t3 + 2)3t 2

dx =

6t 2

dt =

−12t 2dt

, то

(t3 −1)2

12t 2dt

x + 2

∫

dx = −∫

(x − 2)2

x − 2

2t3 + 2

(t3

−1)2

−

−1

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика