Элементы высшей математики. Часть 3. Горбунов В.В., Соколова О.А

12

3 4

3

4

3

x +1

∫t dt = −

3

+C.

= −

16

t

+C = −

16

x −1

16

Решение: Поскольку

2 ′

2 − x

2

2

2

2 − 2t

2

2 − 2t

= t

, 2 − x

= 2t

+t

x,

x

=

, dx

=

dt =

2 + x

1+t

2

1+t

2

=

− 4t(1+t 2 )− (2 − 2t 2 )2t

dt =

−8t

dt, то

(1+t 2 )2

(1+t 2 )2

dx

1+t 2

tdt

t 2dt

∫

2 − x

= −8∫t

= −4∫

x

(1−t 2 )(1+t 2 ).

2 + x

2 − 2t 2

(1+t 2 )2

Используем разложение рациональной дроби

t

2

1

1

−

1

1

.

(1−t 2 )(1+t 2 )=

2

2

1−t 2

1+t 2

В итоге имеем:

1

∫

dt

1

∫

dt

= ln

t

−1

2arctgt

+C =

− 4

−

+

1−t

2

2

1+t

2

t

+1

2

2 − x

−1

= ln

2 + x

+ 2arctg

2 − x

+C .

2 + x

2 − x

+1

2 + x

∫R(x;

)dx ,

∫R(x;

)dx ,

Интегралы

вида

ω2 − x2

ω2 + x2

∫R(x;

)dx вычисляются с помощью тригонометриче-

x2 −ω2

щью

подстановки

x =ωsin t ,

dx =ω costdt .

Используя

ω2 − z2

=

ω2 (1−sin2 t)=ω cost , получим

∫R(x;

)dx =ω∫R(ω sin t,ω cost)costdt .

ω2 − x2

Пример 1.10.4. Вычислить интеграл

∫

9 − x2

dx.

x

Решение:

x = 3sin t

2

2

2

9 − x

9 −9sin t

cos t

dx

=

=

3costdt =

3

dt =

∫

∫

∫

x

3sin t

sin t

dx = 3costdt

1

t

arcsin

x

= 3∫

3

−sin t dt

= 3ln

tg

+

3cost +C = 3ln

tg

+

2

2

sin t

x

arcsin

x

+ C =3ln

tg

1 −sin 2 arcsin

x

+ 3cos arcsin

3

+ 3

+ C =

3

2

3

arcsin

x

x

2

=3ln

tg

3

+ 3 1 −

+ C.

2

3

∫R(x;

)dx

Интеграл

ω2 + x2

рационализируется с помо-

щью

подстановки

x =ω tgt ,

dx =

ω dt

.

Используя

cos2 t

ω

ω2 + z2

=

ω2 (1+tg 2t)=

, получим

cos2 t

dt

ω

2

2

∫R(x;

ω

+ x

)dx =ω∫R ω tgt,

.

cos

2

2

t

t cos

31

Пример 1.10.5. Вычислить интеграл ∫

dx

.

(9 + x2 )3

Решение:

3dt

x = 3tgt

2

∫

dx

=

3dt

=

∫

cos

t

=

1

∫

costdt = sin t +C =

2

3

dx =

3

3

9

9

2

(9

+ x

)

cos

t

cost

1

tgt

1

x