Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Математика

Файл:

Элементы высшей математики. Часть 3. Горбунов В.В., Соколова О.А

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

954 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

y		M
y
	r
	φ
O	x	x

Рис. 9

Найдём площадь криволинейного сектора, ограниченного линией ρ = f (ϕ) и двумя лучами: ϕ =α и ϕ = β , выходящи-

ми из полюса. Воспользуемся методом дифференциалов. Выделим произвольный внутренний угол ψ (α, β). Рас-

смотрим площадь S(ψ) части указанного криволинейного сектора, заключенную между углами α и ψ . Назначим углу ψ приращение ∆ψ = dψ .

ρ=f(ϕ)

B C

Aα

β dψ

ψ
α
0	ρ
Рис. 10
Тогда приращение функции	S(ψ) равно площади «эле-

ментарного криволинейного сектора» OBA (рис.10). Однако, дифференциал dS как главная часть приращения равен пло-

щади кругового сектора OCA , т.е. dS = 12 ρ2dψ . 60

Интегрируя равенство dS = 12 ρ2dψ в пределах от ψ =α

до ψ = β , получим искомую формулу для площади криволинейного сектора:

	1	β	1	β
S =	1	∫ρ2dψ =	1	∫ρ2dϕ.
	2	α	2	α

Пример 3.3.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией ρ = acos 2ϕ .

Решение: Найдем пределы интегрирования из условия

cos 2ϕ ≥ 0 .

Тогда

− π

+ 2kπ ≤ 2ϕ ≤ π + 2kπ

или

≤ϕ ≤ π

−

+ kπ

+ kπ .

Для

фигуры,

называемой

лемнискатой

Бернули

(рис.11),

разрешенными

оказываются

отрезки

при k

= 0 и

3π

5π

при

k =1.

−

3π

ρ = a

cos 2ϕ

Рис. 11

Поскольку фигура содержит четыре симметричных элемента, то вычислим площадь четвертой части фигуры:

		π			π	cos 2ϕdϕ = a2		π	= a2 .
1 S =	1	∫4	ρ2dϕ =	1	∫4 a2	cos 2ϕdϕ = a2	sin 2ϕ	4	= a2 .	Отсюда
4	2	0		2	0	4		0	4
		0			0			0

S = a2 .

3.4. Вычисление длины дуги

1. Пусть в прямоугольных координатах задана гладкая (не содержащая угловых точек) кривая AB , являющаяся графиком

функции y = f (x), имеющей на отрезке [a,b] непрерывную

производную.

Под длиной дуги AB подразумевается предел длины вписанной в эту дугу ломаной линии, число звеньев которой стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Используем метод интегральных сумм для нахождения формулы длины дуги. Разобьем отрезок [a,b] на n частей точ-

ками xi (i = 0,1,..., n). Пусть на кривой этим точкам соответс т- вуют точки M i (xi , f (xi )). Рассмотрим i −тый участок разбиения (рис. 12).

y = f (x) M i

∆Li ∆yi

M i−1

∆xi = xi − xi−1

Рис. 12

Длина хорды M i−1M i может быть найдена по теореме

Пифагора для прямоугольного треугольника с длинами катетов

∆yi и ∆xi :

∆Li = (∆xi )2 + (∆yi )2 .

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ∆yi = f ′(ci )∆xi , где ci является некоторой внутренней точкой

отрезка [xi−1, xi ]. Тогда

∆Li = (∆xi )2 + (f ′(ci )∆xi )2 = 1+ (f ′(ci ))2 ∆xi .

Длина всей ломаной линии равна

n	n
Ln = ∑∆Li =∑ 1+ (f ′(ci ))2 ∆xi .
i=1	i=1

Длина дуги AB по определению равна

L = nlim→∞ ∑∆Li =

max ∆Li →0 i=1

Поскольку по условию

			n

nlim→∞			∑ 1+ (f ′(ci ))2 ∆xi .
max ∆L		→0	i=1

′	i
		непрерывна, то интеграль-
f (x)

	n
	n	(f ′(ci ))2 ∆xi
ная сумма	∑ 1+	(f ′(ci ))2 ∆xi		составлена		для	непрерывной
	i=1				∆xi		( ∆xi → 0 при
функции, а значит,		имеет предел при			∆xi	→ 0	( ∆xi → 0 при
∆Li → 0 )
			b
		L = ∫ 1		′	2
		L = ∫ 1		+ (f (x)) dx .
			a
2. Пусть уравнение кривой АВ задано в параметрической
форме		x = x(t),
		x = x(t),
где x = x(y)		y = y(t), α ≤ t ≤ β,
где x = x(y)	и y = y(t) являются непрерывными функциями
вместе со своими производными, x(α)= a ,						x(β)= b , то длина

дуги находится с помощью замены переменной в интеграле

′

∫ 1

′

y (t)

, а

+ (f (x))

dx . Тогда dx = x

(t)dt,

f (x)

x (t)

′

∫

′

∫

(t)

′

∫

′

L =

1+ (f

(x))

dx =

x (t)dt =

(x (t)) + (y (t)) dt.

x′(t)

Пример 3.4.1. Вычислить длину линии, заданной пара-

метрически:

x = cos3 t,

0 ≤ t

≤

y = sin3 t,

Решение: Найдем производные

′

= −3cos

t sin t и

x (t)

′

t cost . Тогда

(t) = 3sin

L = ∫2

9cos4 t sin2 t +9sin4 t cos2 tdt = ∫2

9cos2 t sin2 t(cos2 t +sin2 t)=

= 3∫2 cost sin tdt =

∫2 sin 2tdt = −

3 cos 2t

3 .

2 = −

(cosπ −cos0)=

3. Пусть кривая задана в полярных координатах непре-

рывной функцией

ρ = ρ(ϕ),

α ≤ϕ ≤ β .

В уравнениях связи

декартовых и полярных координат

x = ρ cosϕ

y = ρsinϕ

формально можно принять параметром полярный угол ϕ , тогда кривую оказывается возможным задать параметрически

x = ρ(ϕ)cosϕ,y = ρ(ϕ)sinϕ.

Вычисляя производные x (ϕ)= ρ (ϕ)cosϕ − ρ(ϕ)sinϕ ,

′ ′

y′(ϕ)= ρ′(ϕ)sinϕ + ρ(ϕ)cosϕ , имеем

(x′()t )2 +(y′()t )2 = (ρ′(ϕ)cosϕ −ρ(ϕ)sinϕ)2 +(ρ′(ϕ)sinϕ + ρ(ϕ)cosϕ)2 =

= (ρ′(ϕ))2 + (ρ(ϕ))2 .

Используя полученный результат, находим формулу для вычисления длины дуги, заданной в полярных координатах:

L = ∫(ρ(ϕ))2 + (ρ′(ϕ))2 dϕ.

Пример 3.4.2. Вычислить длину кардиоиды ρ =1+sinϕ. Решение: Кардиоида имеет вид, представленный на рис. 13.

ρ =1+sinϕ

Рис. 13 Кардиоида имеет две симметричные части. Вычислим

длину правой половины кривой:

= ∫2

dϕ = ∫2

(1+sinϕ)2 + (cosϕ)2

1+ 2sinϕ +sin2 ϕ + cos2 ϕ dϕ =

−

= ∫

+ 2sinϕdϕ =

2 ∫

+sinϕdϕ =

2 ∫

+cos

−ϕ dϕ =

−π

t =

−ϕ,

= −

2∫

1+ cos(t)dt =

2∫

1+ cos(t)dt =

dt = −dϕ.

2∫

= 2∫cos

4∫cos

2cos

dt =

= 4sin

= 8.

3.5. Вычисление объема тела

Пусть требуется найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью, которое проектируется на отрезок [a,b] оси Ox , причем известна зависимость площади поперечного сечения тела S = S(x) плоскостью, перпендикулярной оси Ox . Предполагается, что S = S(x) является непрерывной функцией x на отрезке [a,b].

Используем метод дифференциала. Через произвольную точку x проведем плоскость σ , перпендикулярную оси Ox . Площадь поперечного сечения равна S(x). Через точку x + dx

проведём другую плоскость, параллельную первой. Тогда из объёма тела будет выделен «элементарный слой» dV , соответствующий приращению объема. Объем «элементарного слоя» приближенно может быть посчитан как объем цилиндра с ос-

нованием S(x) и высотой dx : dV = S(x)dx .

Искомую величину объема находим интегрированием dV в пределах от a до b

V = ∫b S(x)dx .

Вычисление объема тела вращения (рис.14), образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, представляет собой частный случай предыдущей задачи. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная сверху непрерывной

кривой y = f (x), прямыми линиями x = a , x = b и ось Ox .

Любое сечение данного тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox , есть круг радиуса R = y = f (x) . Поэтомуплощадь по-

перечного сечения равна

S(x) =πy2 =π[f (x)]2 и dV =π[f (x)]2 dx .

Объем тела вращения вокруг оси Ox равен

	Vx = π∫b [f (x)]2 dx .
	a
y	y = f (x)

Рис. 14

Пример. 3.5.1. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y = x3 , x =1, y = 0 .

Решение:

1	π	(x7 )	1 =	π .
Объём тела вращения равен V =π∫x6dx =
0	7		0	7

3.6. Вычисление площади поверхности вращения
Пусть кривая AB является графиком				функции

y = f (x) ≥ 0 , заданной на отрезке [a,b] и непрерывной вместе

с ее производной y′(x). Найдём площадь поверхности враще-

ния, образованной вращением кривой AB вокруг оси Ox . Для вывода формулы площади поверхности вращения ис-

пользуем метод дифференциала. Через произвольную внутреннюю точку x [a,b] проведем перпендикулярную оси Ox плоскость σ .

Плоскость σ пересекает поверхность по окружности радиуса y = f (x). Величина S части поверхности вращения,

расположенная левее плоскости σ , является функцией x . Пусть через точку x + dx проведена другая плоскость, параллельная плоскости σ . Тогда две параллельные плоскости выделят бесконечно узкую полосу поверхности (рис. 15.), площадь которой dS можно вычислить по формуле площади боковой поверхности усечённого конуса, образующая которой равна dl , а радиусы оснований равны y и y + dy :

dS =π(y + (y + dy))dl = 2πydl +πdydl .

Пренебрегая слагаемым πdydl как величиной более высокого порядка малости по сравнению с dl , получаем

dS = 2πydl . Поскольку dl = 1+ (y′(x))2 dx , то

S = 2π∫y1+ (y′(x))2 dx.

y=f(x)

Рис. 15

Пример. 3.6.1. Найти площадь поверхности шара радиу-

са a .

Решение:

Будем считать, что поверхность получена в результате вращения полуокружности y = a2 − x2 вокруг оси Ox .


a								− 2x				2		a	a
a														a
S = 2π ∫	a	2	− x	2	1								dx = 2π a ∫dx = 2πa(x)			= 4πa	2
		2		2													2

						+	2	a	2	− x	2				− a
						+			2		2
−a														−a

Если поверхность вращения вокруг оси Ox образована кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t),

t1 ≤ t ≤ t2 , то площадь поверхности вращения равна

S = 2π ∫y(t) (x′(t))2 + (y′(t))2 dt.

Пример 3.6.2. Найти площадь поверхности, образованной вращением циклоиды вокруг оси Ox .

Решение:

Первая арка циклоиды описывается уравнениями

x = t −sin t,y =1−cost,

где 0 ≤ t ≤ 2π . Тогда площадь поверхности вращения равна

				2π
S = 2π				2π	(1−cost)									(t			′	2			(1					′	2		dt =
																	′	2								′	2
				∫													−sin t)		+				−cost)
				∫
				0
	2π
= 2π ∫(1−cost)												((1−cost))2 + ((sin t))2												dt =
0
2π						t																			2π			t
= 2π ∫2sin2							1− 2cost + cos2 t +sin2 t													dt = 4π ∫sin2															dt =
																														2 − 2cost
					2																						2			2 − 2cost
0					2																				0		2
0																									0
			2π														2π													2π
			2π					t							t		2π				t				t					2π			t
= 4		π ∫sin2								2sin2						dt = 8π ∫sin				2		sin				dt = 8π ∫sin3									dt =
	2																			2
	2						2							2							2				2							2
			0				2							2		0					2				2				0			2
			0													0													0
	2π							2	t					t			2π							2 t							t
= 8π ∫			1	−cos							sin						dt = 8π ∫ 1			−cos						d −			2cos					=
= 8π ∫			1	−cos							sin		2				dt = 8π ∫ 1			−cos					2	d −			2cos		2			=
0									2				2			0									2						2
0																0
																69

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика