Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Высшая математика. Функции нескольких переменных. практикум. Пантелеев И.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

′

′′

z y

= x cos(xy) ,

z xx

= −y

sin(xy) ,

z yy

= −x

sin(xy) ,

′′

′

z xy

= z yx

= cos(xy) − xy sin(xy) .

z x

= e

cos y , z y

= −e

sin y ,

′′

z xx

= e

cos y ,

z yy

= −e

cos y ,

z xy

= z yx

= −e

sin y .

′

+ y

′

= y /

+ y

′′

= y

/(x

+ y

)

3 / 2

5. z x = x /

z y

, z xx

′′

= x

+ y

)

3 / 2

′′

= −xy /(x

+ y

)

3 / 2

z yy

z xy

= z yx

′

′′

6. z x = 2x /(x

+ y) , z y =

1/(x

+ y) , z xx

= 2( y − x

) /(x

+ y

) ,

′′

z yy = −1 /(x

+ y

) , z xy = z yx = −2x /(x

+ y

) .

7. z′x = y / 2xy + y 2 , z′y = (x + y) / 2xy + y 2 ,

′′

= −y

/(2xy

+ y

)

3 / 2

′′

= −x

/(2xy

+ y

)

3 / 2

z xx

z yy

′′

3 / 2

. 8.

′

z xy

= z yx

= xy /(2xy + y

)

z x

=1/(3x) ,

z y

=1/(3y) ,

′′

= −1 /(3x

) ,

′′

= −(3y

)

−1

′′

= 0 .

z xx

z yy

, zxy

= z yx

′

′′

= −y sin x ,

9. z x = cos y − y cos x , z y

= sin x − x sin y , z xx

′′

′

z yy

= −x cos y ,

z xy

= z yx

= cos x −sin y . 10. z x

= 2(1+ x)(1+ y)

′

= 4(1+ x)

+ y)

′′

= 2(1+ y)

′′

=12(1+ x)

(1+ y)

z y

, z xx

z yy

z′xy′ = z′yx′ = 8(1+ x)(1+ y)3 .

Градиент

Постановка задачи. Найти градиент функции u=f(x,y,z) в

точке M(x0,,y0,,z0).

План решения. Градиент функции f(x,y,z) – это вектор, координаты которого в базисе i , j, k являются частными производными функции f(x,y,z), т.е.

grad f

∂f

j +

∂f

k =

∂f ,

∂f

∂f .

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

1. Находим частные производные функции f(x,y,z)

161

∂∂fx , ∂∂fy , ∂∂fz .

2.Вычисляем частные производные функции f(x,y,z) в

точке M(x0,,y0,,z0).

3.Вычисляем градиент функции u=f(x,y,z) в точке

M(x0,,y0,,z0):

grad f M = {f x′(x0 , y0 , z0 ), f y′(x0 , y0 , z0 ), f z′(x0 , y0 , z0 )}.

Записываем ответ.

Пример. Найти градиент функции u = x 2 −arctg( y + z) в

точке М (2,1,1).

Решение.

1. Находим частные производные функции u = x 2 −arctg( y + z) :

		∂f	∂f					1			34				∂f	1
		∂x = 2x,	∂y = −									,			∂z	= −				.
		∂x = 2x,	∂y = −			1 + ( y + z)2						,			∂z	= −	1 + ( y + z)2			.
	2. Вычисляем частные производные функции
u = x 2 −arctg( y + z) в точке М (2,1,1):
		f x′(2, 1, 1) = 4,			f y′(2, 1, 1) = −									1	,	f z′(2, 1, 1) = −			1		.
		f x′(2, 1, 1) = 4,			f y′(2, 1, 1) = −										,	f z′(2, 1, 1) = −			5		.
											5								5
3. Вычисляем градиент функции u = x 2																−arctg( y + z) в точке
М (2,1,1):																		1				1


grad f		(2,1,1) = {f x′(2, 1, 1),					f y′(2, 1, 1), f z′(2, 1, 1)}= 4,−												,−				.
grad f		(2,1,1) = {f x′(2, 1, 1),					f y′(2, 1, 1), f z′(2, 1, 1)}= 4,−											5	,−			5	.
	Ответ. grad		f						1		1							5				5


				(2,1,1)	=		4,−			,−			.
				(2,1,1)	=		4,−			,−			.
									5		5
	Условия задач. Найти градиент функции u = f (x, y, z) в
точке М.
1.	u = x +ln(z 2 + y 2 ),				M (2, 1, 1).
2.	u = x 2 y − xy + z 2 ,					M (1, 5, −2).
3.	u = sin(x + 2 y) + 2				xyz,			M (π / 2, 3π / 2, 3).

162

4.	u = x3 +	y 2 + z 2 ,		M (1, 1, 0).
5.	u = xy +	9 − z 2 ,		M (1, 1, 0).
6.	u = ln(3 − x 2 ) + xy 2 z,			M (1, 3, 2).
7.	u = x 2 y 2 z −ln(z −1),			M (1, 1, 2).
8.	u = ln(x 2 + y 2 ), M (1, −1, 2).
9.	u = xy − x / z,		M (−4, 3, −1).
10.	u = ln(x +	z 2	+ y 2 ),	M (1, −3, 4).

Ответы. 1.{1, 1, 1}. 2.{55/6, 5/6, 2/3}. 3. {3, 1, π/2}. 4. {3, 1, 0}. 5.{1/2, 1/2, 0}. 6.{17, 12, 9}. 7.{4, 4, 0}. 8.{1, -1, 0}. 9.{4, -4, -4}. 10. {1/6, -1/10, 2/15}.

Производная по направлению

Постановка задачи. Найти производную функции u(x,y,z) в точке А(x1 , y1 , z1) по направлению к точке В(x2 , y2 , z2).

План решения.

1. Если функция u(x,y,z) дифференцируема в точке

А(x1 , y1 , z1), то в этой точке существует ее производная по любому направлению l , определяемая формулой

∂u

= (grad u

, l

(7)

∂l

где

grad u =

∂u

, ∂u

∂u ,

∂x

∂y

∂z

2.находим координаты вектора l . В данном случае l = AB = {x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 }.

3.Находим единичный вектор (орт) l0 :

163

l0 =	l	=	{x2 − x1 , y2	− y1 , z2	− z1	}	.
	l		(x2 − x1 ) 2 +( y2	− y1 ) 2 +(z2 − z1 ) 2

4. Вычисляем частные производные и градиент функции u(x,y,z) в точке А(x1 , y1 , z1):

grad u A = {u′x (x1 , y1 , z1 ), u′y (x1 , y1 , z1 ), u′z (x1 , y1 , z1 )}. 5. Вычисляем скалярное произведение в формуле (7),

получаем ответ.

Пример. Найти производную функции

u = x 2 −arctg( y + z) в точке А(2, 1, 1) по направлению к точке

В(2, 4, -3).

Решение.

1. Так как функция u = x 2 −arctg( y + z) дифференцируема в точке А(2, 1, 1), то этой точке существует ее производная по любому направлению l , которая определяется формулой (7).

2. Находим координаты вектора l . В данном случае

l= AB = {0, 3, −4}.

3.Находим единичный вектор (орт) l0 :

		l0	=		l		=			{0, 3, −4}				=					3		−		4
																	0,		5	,			5	.
					l				02 +32 +(−4) 2


4. Вычисляем частные производные функции
u = x 2	−arctg( y + z) в точке А(2, 1, 1):
∂u	(2,1,1)	= 2x		(2,1,1)				= 4,		∂u		(2,1,1)	= −						1						(2,1,1)	= −	1	,
∂u										∂u									1								1
∂x										∂y							+( y + z) 2										5
														1
			∂u											1
						(2,1,1)			= −		1				(2,1,1)				= −			1	.
											1											1
			∂z																		5
										1+( y + z) 2
Тогда										1+( y + z) 2				1				1
Тогда
							grad u

										(2,1,1)		= 4, −				, −			.
										(2,1,1)		= 4, −				, −			.
														5				5

5. Подставляя полученные значения в формулу (7) и вычисляя скалярное произведение, получим

164

∂u				= (grad u						, l								1			3		1				4			1
∂u																		1			3		1				4			1
∂l			(2,1,1)					(2,1,1)				0	) = 4 0 +			−						+ −			−				=		.
													) = 4 0 +			−						+ −			−				=		.
																		5			5		5				5			25
																		5			5		5				5			25
		Ответ. ∂u					(2,1,1)	=	1		.
									1

				∂l					25
				∂l					25
		Условия задач. Найти производную функции u(x,y,z) в
точке А по направлению к точке В.
1.	u = x +ln(z 2						− y 2 ),			A(2, 1, 1),					B(0, 2, 0).
2.	u = x 2 y −					xy + z 2 ,				A(1, 5, −2),						B(1, 7, −4).
3.		u = sin(x + 2 y) + 2							xyz,					π	,	3π						π		+ 4,		3π
3.		u = sin(x + 2 y) + 2							xyz,					A	,	2		, 3 ,				B	2	+ 4,			2		+3, 3 .
														2		2							2				2
4.		u = x3 +				y 2 + z 2 ,				A(1, 1, 0),						B(1, 2, −1).
5.		u = xy +					9 − z 2 ,			A(1, 1, 0),						B(3, 3, −1).
6.		u = ln(3 − x 2 ) + xy 2 z,											A(1, 3, 2),				B(0, 5, 0).
7.		u = x 2 y 2 z −ln(z −1),											A(1, 1, 2),			B(6, −5, 2							5 + 2).
8.		u = ln(x 2 + y 2 ), A(1, −1, 2),													B(2, −2, 3).
9.		u = ln(x +					z 2 + y 2 ),						A(1, −3, 4),						B(−1, −4, 5).
10. u = xy −					x	,	A(−4, 3, −1), B(1, 4, −2).
10. u = xy −					z	,	A(−4, 3, −1), B(1, 4, −2).
					z
ОТВЕТЫ. 1. −							6 / 3 .		2.					2 / 12 .	3. 3. 4.							2 / 2 .		5. 2/3.
6. -11/3. 7. -4/9. 8. 2									3 / 3 .					9. −	6 / 60 .					10. 20			3 / 9 .
		Производные сложной функции
		Постановка задачи. Найти производные z′x																						и z′y				функции

z = z(u,υ), где u = u(x, y) и υ =υ(x, y).

План решения. Поскольку z является сложной функцией двух переменных х и у, то ее производные z′x и z′y

вычисляются по формулам

165

∂z

∂u

∂z

∂υ

(8)

∂x

∂u

∂x

∂υ

∂x

∂z

∂u

∂z

∂υ

(9)

∂y

∂u

∂y

∂υ

∂y

1. Вычисляем частные производные

∂∂uz , ∂∂υz , ∂∂ux , ∂∂uy , ∂∂υx , ∂∂υy .

2.Подставляем полученные результаты в формулы (8) и

(9)и записываем ответ.

Замечание. Формулы (8) и (9) можно обобщить на функции любого числа переменных. Например, если дана

функция f (u,υ,ω) ,	где u = u(x, y, t), υ =υ(x, y, t)	и
ω = ω(x, y, t), то ее	частные производные f x′, f y′,	ft′

вычисляются по формулам

∂∂fx = ∂∂uf ∂∂ux + ∂∂υf ∂∂υx + ∂∂ωf ∂∂ωx , ∂∂fy = ∂∂uf ∂∂uy + ∂∂υf ∂∂υy + ∂∂ωf ∂∂ωy ,

∂∂ft = ∂∂uf ∂∂ut + ∂∂υf ∂∂υt + ∂∂ωf ∂∂ωt .

Пример. Найти производные z′x								и	z′y	функции z = u /υ ,
где u = x y и υ =	xy .
Решение.
1. Вычисляем частные производные
		∂z	=	1	,	∂z	= −	u	,
		∂u	=		,		= −	υ2	,
		∂u	υ			∂υ		υ2
∂u = yx y−1 ,	∂u = x y ln x,					∂υ = y ,				∂υ	= x .
∂x	∂y					∂x		2 x		∂y	2 y

2. Подставляя полученные результаты в формулы (8) и (9), получаем

166

∂z

1 yx y−1 −

y ,

∂z

= 1 x y ln x −

x .

∂x

υ2

2 x

∂y

υ2

2 y

Ответ:

∂z

yx y−1 −

∂x

υ2

∂z

= 1 yx y ln x − u

где u = x y , υ =

xy.

∂y

υ2

Условия задач. Найти производные

z′x

z′y функции

z = z(u,υ) , где u = u(x, y)

и υ =υ(x, y).

z = u 2 +υ2 ,

u = x + y, υ = x − y.

z = ln(u 2

+υ2 ),

u = xy,

υ = x / y.

z = uυ ,

u = sin x,

υ = cos y.

z = u 2 + 2υ3 , u = x 2 − y 2 , υ = e xy .

z = arctg(u / υ),

u = x sin y,

υ = x cos y.

z = ln(u −υ2 ),

u = x 2

+ y 2 ,

υ = y.

z = u 3 +υ2 ,

u = ln

x 2 + y 2 ,

υ = arctg( y / x).

z =

uυ,

u = ln(x 2

+ y 2 ),

υ = xy 2 .

z = euυ , u = ln x, υ = ln y.

10. z = ln(u /υ),

u = sin(x / y),

υ =

x / y.

Ответы.

z′x = 2u + 2υ, z′y = 2u −2υ.

z′x =

y +

2υ

z′y

−

2υ

u 2 +υ2

u 2 +υ

u 2

+υ

u 2 +υ

y 2

z′x =υuυ−1 cos x,

z′y

= uυ ln u (−sin y).

z′x = 2u 2x +6υ2 ye xy , z′y = 2u (−2 y) +6υ2 xe xy .

167

5. z′x

sin y

−

cos y,

u 2

+υ

2 −υ2

z′y =

x cos y −

x sin y.

u 2 +υ2

2 +υ2

2υ

6. z′x

2x,

z′y

2 y +

−υ2

u −υ

u −υ2

7. z′x = 3u 2

−2υ

x 2

+ y 2

z′y = 3u

+ 2υ

x 2

+ y 2

8. z′x

y 2 ,

+ y 2

z′y

x 2

2 y

2xy.

+ y 2

9. z′x =υeuυ

, z′y

= ueuυ

10. z′x

cos x

−

′

cos

−

z y

2 y

Производная неявной функции

Постановка

задачи.

Найти

производную функцию

y = y(x) , заданной неявно уравнением

F(x, y) = 0.

(10)

План решения. Если при каждом фиксированном х, принадлежащем некоторой области D, уравнение (10) имеет единственное решение у, принадлежащее некоторой области Е,

168

то уравнение (10) задает функцию y = y(x) с областью определения D и областью значений E.

Если в некоторой окрестности точки (x0 , y0 = y(x0 )) функция F(x,y) дифференцируема и Fx′(x0 , y0 ) ≠ 0 , то уравнение (10) определяет функцию у=у(х), дифференцируемую в точке x0 ,

причем ее производная определяется формулой
y′(x0 ) = −	Fx′(x0	, y0 )	.	(11)
	Fy′(x0
		, y0 )
1. Вычисляем частные производные Fx′(x, y) и				Fy′(x, y) в

точке (x0 , y0 ) , где y0 есть корень уравнения F(x0 , y) = 0. 2. Находим y′(x0 ) по формуле (11) и записываем ответ.

Замечание. Аналогично вычисляются частные производные функций нескольких переменных, заданных неявно. Например, если уравнение F (x ,y ,z) = 0 задает функцию

z = z (x ,y) , то при известных условиях функции z = z (x ,y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ) и ее частные производные

определяются функциями

Fy′(x0

, y0

, z0 )

z′x (x0 , y0 ) = −

F ′(x

, y

, z

)

z′y (x0 ,

y0 ) = −

Fz′(x0 , y0 , z0 )

Fz′(x0

, y0 , z0 )

где z0 есть корень уравнения F(x0 , y0 , z) = 0.

Пример. Найти производную функции y = y(x) , заданной

неявно уравнением

y .

x 2

+ y 2

= arctg

(12)

Решение.

y .

1. В данном случае F(x, y) = ln x 2

+ y 2 −arctg

Вычисляем ее частные производные:

169

Fx′ =

−

x + y

x 2 + y 2

+( y / x) 2

x 2

x 2 + y

Fy′

−

y − x

x 2

+ y 2

1+( y / x) 2

x 2 + y 2

Очевидно, что F(x, y) , Fx′ и Fy′ непрерывны при всех x ≠ 0 и Fy′ ≠ 0 при x ≠ y . Следовательно, уравнение (12) определяет функцию у(х), дифференцируемую во всех точках (x0 , y0 ) области, где x ≠ 0 и x ≠ y .

2. Находим y′ по формуле (11)

′

Fx′(x0 , y0 )

(x0 + y0 ) /(x02 + y02 ) x0 + y0

= − Fy′(x0 , y0 )

= − ( y0 − y0 ) /(x02 + y02 ) = x0 − y0 .

Ответ.

′ =

x0 + y0

при всех

x0 , y0 , удовлетворяющих уравнению

x0 − y0

(12), в области, где x ≠ 0 и x ≠ y .

Условия задач. Найти

производные функций y = y(x) ,

заданных неявно уравнениями.

y x = x y .

y =1+ y x .

y = x +ln y.

x + y = e x−y .

x 2 e2 y

− y 2 e2 x = 0.

x − y + arctgy = 0.

y sin x −cos(x − y) = 0.

sin(xy) −e xy − x 2 y = 0.

9. 1+ xy −ln(e xy +e−xy ) = 0.

Ответы.

1. y′ = − y x ln y − yx y−1 . xy x−1 − x y ln x

3. y′ = y y−1 .

10. x 2 −2xy + y 2 + x + y −2 = 0.

2. y′ =	y x ln y
		.
	1− xy x−1

4. y′ = e x−y −1 .

e x−y +1

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика