Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Высшая математика. Функции нескольких переменных. практикум. Пантелеев И.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 223 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Если a есть приближенное значение числа ao , то относительная погрешность δ определяется по формуле

δ =	ao −a	.
δ =	a	.
	a
	Таким образом, δ =		11,61−11,62 −a	= 0,00086 .
	Таким образом, δ =		11,61−11,62 −a	= 0,00086 .
			11,62

Принимая приближенное число 11,62 за 100 %, находим, что относительная погрешность в процентах равна 0,007 %.

1.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков

10. Частные производные первого порядка от функции многих переменных u = f (x, y,..., t) обычно зависят от тех же

переменных и их можно еще раз дифференцировать. Частными производными второго порядка называются

частные производные от частных производных первого порядка

∂ ∂u		=	∂2u			= u′′	;
	∂x		∂x2

∂x						xx
∂	∂u		2	u
		=	∂			= u′′	;
					2
	∂y		∂y			yy
∂y

∂ ∂u		∂2u	′′
	=

		∂x∂y	= uxy ;
∂y	∂x

∂	∂u		2	u
		=	∂		= u′′yx ,…
	∂y		∂y∂x
∂x

Смешанные частные производные, отличающиеся только последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны, т.е.

∂2u = ∂2u . ∂x∂y ∂y∂x

Частными производными третьего порядка называются частные производные от частных производных второго порядка

∂

∂ u

′′′

∂

∂ u

′′′

∂x

= uxxx ;

∂y

= uxxy ;

∂x

∂x∂y

∂x

∂

′′′

∂

∂ u

′′′

∂x

∂y

= uxxy ;

∂x∂y

= uxyy ,…

∂y

∂x

∂y

∂x∂y

Частные производные других высших порядков определяются аналогично.

20. Дифференциалом второго порядка от функции двух

независимых

переменных

u = f (x, y)

называется

дифференциал от ее полного дифференциала

d(du) = d 2u ;

d 2u =

∂2u dx2 + 2

∂2u

∂x∂y

+ ∂2u dy2 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

Аналогично определятся дифференциал третьего порядка

d(d 2u) = d3u ;

∂3u

d u =

∂x3 dx

∂x

∂y +3

∂x∂y

∂y3 dy

∂x2∂y

∂x∂y2

В общем случае для дифференциалов высших порядков справедлива символическая формула

d nu = ∂∂x dx + ∂∂y dy n u ,

где сначала выражение в скобках формально возводится в степень n , а затем при символе ∂n подписывается u .

В многомерном случае u = f (x1, x2 ,..., xn ) имеет место аналогичная символическая формула

∂

u =

∑

dxi u .

i=1 ∂xi

5.1. Найти частные производные второго порядка

а) z = ln( x 2 +

y 2 ) ;

б) u = xy + yz + zx .

Решение. а) Найдем частные производные первого

порядка

∂z =

∂z

2 y

+ y2

∂y

x2 + y2

∂x

Отсюда вторые частные производные

∂2 z

2(x2

+ y2 ) −2x 2x

= 2

y2 − x2

∂x2

(x2 + y2 )2

∂2 z

2(x2

+ y2 ) −4y2

2(x2

− y2 )

∂y2

(x2 + y2 )2

∂2 z

= −

4xy

∂2 z

= −

4xy

∂y∂x

(x2

+ y2 )2

∂x∂y

(x2

+ y2 )2

Последние два выражения наглядно доказывают, что смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования.

б) Находим сначала частные производные первого порядка

∂∂ux = y + z , ∂∂uy = x + z , ∂∂uz = y + x .

Отсюда частные производные второго порядка

∂2u = 0 , ∂2u = 0 , ∂2u = 0 ,

∂x2 ∂y2 ∂z2

5.2. Найти: а) ∂3 z , если

∂x∂y2

б)	∂3u	, если u = (xyz)3 .
	∂x∂y∂z

∂2u	=1	,	∂2u	=1	,	∂2u	=1.
∂x∂y			∂x∂z			∂y∂z

z = cos(xy) ;

Решение. а) Поскольку смешанная производная не зависит от порядка дифференцирования, то последовательно дифференцируя, получим

	∂z	= −xsin(xy) ;	∂2 z	= −x2 cos(xy) ;
	∂x		∂y2
∂3 z	= −(2xcos(xy) − x2 ysin(xy)) = x2 ysin(xy) −2xcos(xy) ;
∂x∂y2	= −(2xcos(xy) − x2 ysin(xy)) = x2 ysin(xy) −2xcos(xy) ;
∂x∂y2

б) Функция от трех независимых переменных. Смешанная производная по переменным будет

	∂u	= 3(xyz)2 xy = 3x3 y3 z2 ,
	∂z
	∂2u		= 9x3 y2 z2 ,			∂3u	= 27x2 y2 z2 .\
	∂y∂z		= 9x3 y2 z2 ,			∂x∂y∂z	= 27x2 y2 z2 .\
	∂y∂z					∂x∂y∂z
			′′′	;		′′′		x2 y
5.3. Найти: а) zxxy (0;1)				;	б) zxyy (0;1) , если z = e .

Решение. а) Требуется найти значение частной производной третьего порядка в точке (0,1). Находим сначала

частную производную z′y = x2ex2 y ,

′′

x2 y

2 x2 y

zxy = 2xe + x e 2xy = 2x(1 + x y)x e ,

′′′

x2 y

y)e

+ (2 + 6x y)e .

zxxy = 4x y(1 + x

Отсюда

′′′

zxxy (0;1) = 2 .

б)

Используя

результат

предыдущего примера

′′

zxy

находим

′′′

x2 y

2 x2 y

= 2x e

+ 2x(1 + x

y)x e .

Отсюда значение

zxyy

производной в точке

′′′

(0;1) = 0 .

zxyy

5.4. Показать, что функции удовлетворяют уравнениям:

а) u = Asin λx cos aλt , u = e−cos( at +x) ,					∂2u	= a2 ∂2u	;
					∂t2	∂x2
б) z = exy , z = y	y	,	x2 ∂2 z	− y2 ∂2 z	= 0 .
	x		∂x2	∂y2

Решение. а) Найдем частные производные второго порядка от первой функции

∂∂ut = −Aaλsin λxsin aλt ,

∂∂ux = Aλcos λx cos aλt ,

∂2u ∂t2 ∂2u ∂x2

=−A(aλ)2 sin λx cos aλt ,

=−Aλ2 sin λx cos aλt .

Подставляя вторые производные в уравнение, получим

− Aa2λ2 sin λx cos aλt = −Aa2λ2 sin λx cos aλt ,

что и требовалось доказать.

Найдем теперь частные производные от второй функции

∂∂ut = a sin(at + x)e−cos(at +x) ,

∂2u = (a2 cos(at + x) + a2 sin(at + x))e−cos( at +x) ,

∂t2

∂∂ux = sin(at + x)e−cos(at +x) ,

∂2u = (cos(at + x) +sin 2 (at + x))e−cos( at +x) .

∂x2

Подставляя вторые производные в уравнение, получим a2 (cos(at + x) +sin(at + x))e−cos(at+x) =

= a2 (cos(at + x) +sin(at + x))e−cos(at+x)

что и требовалось доказать.

б) Находим вторые частные производные от функции

z = exy ,	∂	= yexy ,	∂2	z	= y2exy ,	∂	= xexy ,	∂2 z	= x2exy .
	z					y		∂y2
	∂x		∂x2			∂x

Подставляя вторые частные производные в уравнение, получим x2 y2exy − y2 x2exy = 0, что и требовалось проверить.

Найдем вторые частные производные для

z = y

∂z

∂2 z

y −2

y 2

= −

∂x

∂x2

∂z

∂2 z

3 y 2

3 1

∂y

∂y2

2 x

(xy)2

Подставляя вторые частные производные в уравнение, получим

			1									3				3
x	2 3		y 2	y	− y	2 3	1		= 0	,	3 y 2			−	3 y 2			= 0 .

	4			x2		4	1				4	1			4	1
	4	x		x2		4	1				4	1			4	1
								(xy)2					x2				x2

что и требовалось проверить.

5.5. Найти: а) d 2 z , еслиz = x ln	y	; б) d 2u , если u = exyz ;
	x
в) d3 z , если z = ex sin y .

Решение. а) При нахождении дифференциала второго порядка воспользуемся формулой (1). Для этого найдем частные производные второго порядка

∂z

= ln

−1

;

∂2 z

= −

;

∂

2 z

;

∂x

∂x2

∂x∂y

∂z

;

∂2 z

= −

∂y

∂y2

Таким образом,

d 2 z = −

dx2

+ 2dxdy −

xdy2

б) В данном случае функция трех переменных. Пользуясь формулой (4), запишем дифференциал второго порядка

d 2u =		∂2u dx2	+ ∂2u dy2 +			∂2u dz2 +
		∂x2		∂y2		∂z2
+2	∂2u	dxdy +2		∂2u	dxdz +		∂2u	dydz .
	∂x∂y			∂x∂z			∂y∂z

Найдем частные производные второго порядка

∂∂ux = yzexyz , ∂∂uy = xzexyz , ∂∂uz = xyexyz ,

∂2u

= ( yz)

xyz

∂2u

(xz)

xyz

∂2u

(xy)

xyz

∂x2

∂y2

∂z2

∂2u

= (z

+ xyz

xyz

∂2u

= ( y + xy

z)e

xyz

∂x∂y

∂x∂z

∂2u

= (x + x2 yz)exyz .

∂y∂z

Отсюда имеем

d 2u = exyz ((yzdx)2 +(xzdy)2 +(xydz)2 +

+(z + xyz2 )dxdy+( y + xy2 z)dxdz +(x + x2 yz)dydz) .

в) Воспользуемся формулой (2). Найдем частные производные третьего порядка

∂z

= ex sin y ,

∂z

= ex cos y , ∂2 z = ex sin y ,

∂x

∂y

∂x2

∂2 z

= ex cos y ,

∂2 z

= −ex sin y ,

∂3 z

= ex sin y ,

∂x∂y

∂y2

∂x3

∂3 z

= ex cos y ,

∂3 z

= −ex sin y ,

∂3 z

= −ex cos y .

∂x2∂y

∂x∂y2

∂y3

Окончательно получим

d3z = ex sin ydx3 +3ex cos ydx2dy −3ex sin ydxdy2 −

−ex cos ydy3 = ex (sin ydx3 +3cos ydx2dy −3dinydxdy2 −cos ydy3 ) .

1.6. Дифференцирование сложных функций

10. Функция вида z = f (u,υ,..., w) называется сложной функцией от независимых переменных x, y,...,t , если она

задана посредством промежуточных аргументов: u = u(x, y,...,t) , υ =υ(x, y,...,t) , … , w = w(x, y,...,t) .

Частная производная сложной функции по независимой переменной равна сумме произведений ее частных производных по промежуточным аргументам на частные производные от этих аргументов по независимой переменной

∂∂xz = ∂∂uz ∂∂ux + ∂∂υz ∂∂υx +... + ∂∂wz ∂∂wx ;

∂∂yz = ∂∂uz ∂∂uy + ∂∂υz ∂∂υy +... + ∂∂wz ∂∂wy ;

……………………..

∂∂zt = ∂∂uz ∂∂ut + ∂∂υz ∂∂υt +... + ∂∂wz ∂∂wt .

Если все промежуточные аргументы будут функциями

только одной	независимой переменной u = u(x) , υ =υ(x) ,
w = w(x) , то z	будет функцией только x и производная такой

сложной функции называется полной производной

∂∂xz = ∂∂uz dudx + ∂∂υz ddxυ +... + ∂∂wz dwdx .

Если функция z вида z = f (x,u,υ,..., w) , где u,υ,..., w -

функции только x , то полная производная определятся по формуле

∂z

∂z du

∂z dυ

+... +

∂z

∂x

∂u dx

∂υ dx

∂w dx

20. Если

функция z = f (u,υ,..., w)

сложная, то

дифференциал первого порядка сохраняет свой вид (свойство инвариантности формы первого дифференциала) и находится по формуле

dz = ∂∂uz du + ∂∂υz dυ +... + ∂∂wz dw .

Дифференциал 2-го порядка от сложной функции находится по формуле

	2	∂			∂		∂		2
d		z =		∂u +		∂υ +... +		∂w z +
			∂u		∂υ		∂w

6.1. Найти производные сложных функций:

а) z = u2 +υ2 , u = cos x , υ = sin x ; б) z = x3 ln y , x = 2u +3υ , y = υu ; в) u = xyz , x = ln t , y =1+t2 , z = sin t ;

г) z = x ln u sinυ , u = cos x , υ = x2 −1.

Решение. а) Поскольку промежуточные аргументы u,υ являются функциями только одной независимой переменной

x ,	то	производную			находим	по	формуле	(2)
dz	= −	u	sin x +	υ	cos x = −cos xsin x +sin x cos x = 0 .
dx	u2 +υ2			u2 +υ2

б) Промежуточные аргументы x, y являются функциями двух независимых аргументов u,υ . В этом случае формулы (1)

примут вид

∂∂uz = ∂∂xz ∂∂ux + ∂∂yz ∂∂uy ;

∂∂υz = ∂∂xz ∂∂υx + ∂∂yz ∂∂υy .

Отсюда

∂z

= 3x2 ln y 2

1 = 6(2u +3υ)2 ln

(2u +3υ)3

;

∂u

y υ

∂z

ln y 3

= 9(2u +3υ)

(2u +3υ)3

−

∂υ

υ2

в) Функция u зависит от трех промежуточных аргументов, которые в свою очередь зависят только от одной независимой переменной, поэтому по формуле (2)

dudt = yz 1t + xz2t + xy cos t = 1 +t t 2 sin t + 2t ln t sin t + (1 + t 2 ) ln t cos t .

г) Здесь независимая переменная x явно входит в выражение функции, поэтому воспользуемся формулой (3)

dxdz = ln u sinυ + ux sinυ(−sin x) + x ln u cosυ 2x =

= lncos x sin(x2 −1) −sin(x2 −1) +2x2 lncos x cos(x2 −1) .

6.2. Найти dz и d 2 z , если z = f (u,υ) , u = sin(xy) ,

υ = ln xy .

Решение. При нахождении дифференциала 1-го порядка воспользуемся формулой (4), где

du =

∂u dx + ∂u dy = y cos( xy)dx + x cos( xy)dy ;

∂x

∂y

dυ =

∂υ

dx +

∂υ

dy = dx

− dy .

∂x

∂y

Тогда

′

′ dx

dz =

( y cos(xy)dx + xcos(xy)dy) +

−

При вычислении дифференциала 2-го порядка по

формуле (5) найдем сначала d 2u и d 2υ :

d 2u =

∂2u dx2

+ 2

∂2u

dxdy +

∂2u dy2 =

∂x∂y

∂x2

∂y2

= −y2 sin(xy)dx2 −2xysin(xy)dxdy − x2 sin(xy)dy2

∂2υ

dx2

dy2

d υ =

∂x2

dxdy

∂y2

= −

∂x∂y

Таким образом,

d 2 z = fuu′′( y cos( xy)dx + x cos( xy)dy)2 + 2 fu′υ′ ( y cos( xy)dx +

−

′′

−

+ x cos(xy)dy)

+ fυυ

−

′

sin( xy)( ydx + xdy)

′′

−

+ fυ

= f ′′ cos2 (xy)( ydx + xdy)2 + f ′′

cos(xy)( ydx + xdy) dx − dy

uυ

+ f ′′

−

− f

′sin( xy)( ydx + xdy)2 +

′

−

υυ

<<< < Предыдущая 1 23 / 223 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика