Высшая математика. Функции нескольких переменных. практикум. Пантелеев И.Н

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

( y 2 −1)(x +1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2220 21 22 > Следующая >>>

или

25x2 = 5 2 y .

Это – каноническое уравнение параболического цилиндра в прямоугольной системе координат (O, e1, e2 , e3 ).

Поскольку

										x				0	1		0	x
																					=
										y	=			3 5 0 −4 5 y							=
														4 5 0 3 5
										z				4 5 0 3 5				z
					0 1					0		1			0			0		x				−1 5
		=											0		−1 2 1 2										−1			=
		=			3 5 0 −4 5								0		−1 2 1 2					y				+	−1			=
					4 5 0 3 5								0 1 2 1 2								z				1
					4 5 0 3 5								0 1 2 1 2								z				1

								0		−1 2					1 2				x					−1
								0		−1 2					1 2				x					−1
							3 5		−4 (5 2 )																		,
						=	3 5		−4 (5 2 )						−4 (5 2 )				y +			−23 25					,
																								11 25
							4 5 3 (5 2 )								3 (5 2 )				z					11 25
							4 5 3 (5 2 )								3 (5 2 )
каноническая система координат (O, e1, e2 , e3 )																							имеет начало
					23			11																		3		4 т
O = −1,				−			,			и направляющие векторы e1														= 0,			,		,
O = −1,				−	25		,	25		и направляющие векторы e1														= 0,		5	,		,
					25			25																		5		5
			1					4		3		т				1			4					3 т
e2	= −				, −				,				, e3 =				, −				,				.
e2	= −		2		, −				,				, e3 =			2	, −				,				.
			2				5 2 5 2									2			5 2 5 2

191

Задачи для самостоятельного решения

Приведите уравнения к каноническому виду при помощи перехода к новой прямоугольной системе координат и выясните расположение относительно исходной прямоугольной системы координат следующих поверхностей второго порядка:

а) 2x2 + 2 y2 +3z2 + 4xy + 2xz + 2 yz − 2x − 2 y −16z +53 = 0 ;

б) xy + xz + yz + 2 2x + 2 6 y − 2 3z −100 = 0 ;

в) x2 + 4 y2 + z2 + 4xy − 2xz − 4 yz − 2x −6 y + 6z = 0 ;

г) 4x2 −6 y2 + 4z2 − 4xz −8y − 4z −3 = 0 ;

д) 5x2 + 7 y2 + 6z2 + 4xz + 4 yz +10x +14 y +8z − 6 = 0 ;

е) x2 +5y2 + z2 + 2xy + 6xz + 2 yz − 2x = 0 ;

ж) −8x2 + 4 y2 + 4z2 + 4xy + 4xz −10 yz +12x + 24 y + 24z −9 = 0 ; з) −18x2 −32z2 +40xy −48xz −30 yz +20x−100 y−140z −250 =0 ; и) 2x2 + y2 + 2z2 − 2xy − 2 yz + x − 4 y −3z + 2 = 0 ;

к) 72 x2 + 72 y2 +8z2 −5xy − 4xz − 4 yz −8x −8y − 4z +36 = 0 ; л) 17x2 +17 y2 +11z2 −16xy +8xz −8yz −2x+34 y−44z +57 =0 ; м) 11x2 +2 y2 +5z2 +4xy −16xz +20 yz +22x−68y−34z +62=0 ;

н) 4x2 + y2 + 4z2 − 4xy −8xz + 4 yz −14x + y +8z +30 = 0 ; о) −xy + xz + yz + 2x + 2 y − 2z = 0 ;

п) y2 + 2xy + 4xz + 2 yz − 4x − 2 y = 0 ;

р) 3x2 +12 y2 + 27z2 −12xy +18xz −36 yz −3x + 6 y −9z −18 = 0 .

192

1.13. z =

5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

Задача 1

Найти область определения функции двух переменных (дать геометрическое истолкование).

1.1. z =		ln(x + y) .
1.2. z = ln				x2		.
				x + y

1.3. z = ln			cos x		.

				y
1.4. z = ln			x −3		.

			y −5
1.5. z = ln( y −sin x) .
1.6. z = log y (x2							+ y 2 −9) .
1.7. z =	1	arcsin					x + y	.

	x						y
1.8. z =		ln xy .
1.9. z =	ln(x2 y)					.
			y − x

1.10.z = ln(− x − y).

1.11.z = ln x + ln sin y .

1.12. z =	ln x	.
	4 − x2
		− y 2

1x + (x2 + y 2 −1)(4 − x2 − y 2 ) .

1.14. z = 1 − x2 + y 2 −1 .

193

1.15. z =	1	−		1		.
	x − y			x2 + y2		−9
1.16. z =	1	y 2 − x .
	\| x \|
1.17. z = (x +		y ) ln( y 2			− x2 ) .
1.18. z =	1 − (x2 + y)2 ln y .
1.19. z =	1 −x3 + ln( y2				−1) .
1.20. z =	cos x − y .
		y
1.21. z = arcsin(x + y) +					9 − x2 − y 2 .
1.22. z = arccos			x	+ arcsin(1 − y 2 ) .
1.22. z = arccos			y 2	+ arcsin(1 − y 2 ) .
			y 2
1.23. z =	x2 + y 2			− 2x −		4 − x2 − y 2 .

1.24.z = sin(x2 + y 2 ) + arcsin(x − y) .

1.25.z = arcsin xy2 + arccos(1 − x) .

1.26.z = sin x cos y .

1.27.z = sinxy .

1.30. z = ln x ln y .

194

Задача 2

Найти частные производные ∂∂xz , ∂∂yz от функции z = z(x, y) .

2.1. z = ln(x + x2 + y 2 ) .

2.2.z = ln( x + y2 ) .

2.3.z = ln(1 + x) ln(1 + y3 ) .

2.4. z =

2.5. z = xy2 ln(x2 + y) .

2.6. z = ln(x5 + ln y) .

2.7.

z = (1 + log y x)3 .

2.8.

z = ln(sin x + cos y) .

2.9.

z = ln(3

y −sin x).

2.10.

y +

z = ln x

2.11.

z =

(x − 2 y)

+ 2 y

x2 +y2

2.12.

z = e

x+y .

2.13.

z = (x sin y + y cos x)2 .

2.14.

z =

y .

2.15. z =

arcsin(x + y)

cos(xy)

2.16. z = 3

ln(x2 y) .

195

2.17. z = cos xx +− yy .

2.18. z = arcsin x2 − y 2 . x2 + y 2

2.19.z = −ln cos y .

2.20.z = (sin x)cos y .

2.21.z = x sin( x + y 2 ) .

2.22.z = arctg x y .

2.23.z = cos x2 .

x+ y

2.24. z = arcsin	x
	x2 + y 2 .

2.25.z = cos xy sin xy .

2.26.z = arctg 1 +xyx2 .

2.27.z = e x2 −y2 .

2.28.z = arccos ln x .

2.29.z = arctg 1x−+xyy .

2.30.z = arcsin yx2 + arccos(1 − y) .

196

Задача 3

Вычислить производные сложных функций.

3.1. z = x sin y + y cos x, где x =

y = u

3v2 ;

∂z

= ?

∂u

∂v

3.2. z = e4 xy , где x = cos(1 −t),

y = sin t 2 ;

= ?

3.3. z = x2

− y 2 + 2xy , где x = sin t ,

y = arccos(et

);

= ?

3.4. z = (x + y3 ) ex2 +y2 , где x = cos(t 2 ),

y =

t ;

= ?

3.5. z = arcsin

, где x = sin t,

y = cos2

;

= ?

3.6. z = tg(x + 2x2 − y), где x =

, y =

t ;

= ?

∂z

∂z = ?

3.7. z =

где x = v −u 2 v,

y = u + v2u ;

∂u

+ y 2

∂v

3.8. z = arctg

x ,

где y = x2

+1 ,

∂z ,

= ?

∂x

3.9. z =

4 y

, где x = t cos t ,

y = t sin t ;

= ?

y 2

− x

3.10. z = arcsin(x − y), где x = ln(

t +1),

y = 4t 3 ;

= ?

x + y

3.11. z = arctg

, где x = t 2 +1,

y = sin t ;

= ?

1 + xy

3.12. z = ln(

x ln y), где x = sin t ,

y = arccos(t 5 );

= ?

x ; ∂z

3.13. z = ln( e 2 x + e 6 y ), где y = x

= ?

∂x

197

3.14. z =

где x = tg 2t ,

y = ctg 3

;

= ?

3.15. z = ln(x2 y), где x = uv ,

y = vu ;

∂z

= ?

∂u

∂v

t 2

3.16. z = x3 sin y + y3 cos x, где x = 3t 2

−

t ,

y =

;

= ?

t −

x + 2 y

3.17. z =

, где x = tg(t 2

+1),

y = ctg(t 4

−1) ;

= ?

3.18. z = xy2

, где x = ln(t 2 +t),

y =10t ;

= ?

3.19. z = ln(x2 + y 2 ) − x

x ,

где x = sin t ,

y =

;

= ?

3.20. z =

x − 2 y

, где x =

u − v

, y =

;

∂z

= ?

x + 2 y

+ v

∂u

∂v

3.21. z =

x + y

где x =

y =

;

= ?

sin t

cos t

1 − xy

3.22.z =

3.23.z =

3.24.z =

3.25.z =

xy + sin x, где x = tg(3t 2 + t), y = ctg(2t +1);	dz	= ?
	dt

x + y	, где	x = tg(e
x − y

xln y , где x = sin(uv),

sin 2 x , где x = ln t , sin 2 y

t +1) , y = ctg			t	;		dz	= ?
t +1) , y = ctg				;		dt	= ?
		2				dt
y = cos(v2		−u);				∂z	,	∂z	= ?
y = cos(v2		−u);			∂u		,	∂v	= ?
					∂u			∂v
y = tet ;	dz	= ?
y = tet ;	dt	= ?
	dt

3.26. z = ln x −	y 2	,	где x = sin t 2 , y = cos t 2 ;				dz	= ?
							dt
	x
3.27. z = arccos(xy2 ), где x = t 2 ln t, y = tet ;						dz		= ?
							dt
3.28. z = cos(ysin x ),				dz
			где x = t 3 , y = 2t ;		= ?

				dt

198

3.29. z = sin 2 x + cos2 y ,

где x =π ln t , y = lnπ t ;

= ?

u + v2

3.30.

z =

+ 2 y3

, где

x =

, y =

;

∂z

= ?

x + 2 y

u + v

∂u

∂v

Задача 4.

Найти вторые частные производные указанных функций. Убедиться в том, что z"xy = z"yx .

4.1.z = ex2 −y 2

4.2.z = ctg(x + y)

4.3.z = tg(x / y)

4.4.z = cos(xy2 )

4.5.z = sin(x2 − y)

4.6.z = arctg(x + y)

4.7.z = arcsin(x − y)

4.8.z = arccos(2x + y)

4.9.z = arcctg(x − 3y)

4.10.z = ln(3x2 − 2 y2 )

4.11.z = e2x2 +y2

4.12.z = ctg( y / x)

199

4.13. z = tg xy

4.14. z = cos(x2 y2 − 5)

4.15. z = sin x3 y

4.16.z = arcsin(x − 2 y)

4.17.z = arccos(4x − y)

4.18.z = arctg(5x + 2 y)

4.19.z = arctg(2x − y)

4.20.z = ln(4x2 − 5y3 )

4.21. z = e x+ y

4.22.z = arcsin(4x + y)

4.23.z = arccos(x − 5y)

4.24. z = sin xy

4.25.z = cos(3x2 − y3 )

4.26.z = arctg(3x + 2 y)

4.27.z = ln(5x2 − 3y4 )

4.28.z = arcctg(x − 4 y)

4.29.z = ln(3xy − 4)

4.30.z = tg(xy2 )

200

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2220 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика