4.1.2. Вейвлет анализ временного ряда
Вейвлет преобразование обработанного статистического ряда. Выбор базового вейвлета осуществляется экспериментальным путем до получения необходимой «чувствительности» разложения.
Произведем вейвлет анализ ряда, изображенного на рис. 9, предварительно прологарифмировав и центрировав его в соответствии с (1).
Таким образом, сформирован сигнал риска, представленный на рис. 10.
Рис. 10. Пример сигнала риска
В качестве базового выберем вейвлет Morlet. График вейвлет разложения сигнала на рис. 11. На рис. 12 трехмерный вид разложения, с нормализованной амплитудой и реальным масштабом времени.
Рис. 11. Пример вейвлет разложения сигнала риска
Рис. 12. Пример трехмерного вида разложения в реальном масштабе времени
Далее рекомендуется выделить и проанализировать основные периодики.
Например, для анализируемого нами временного ряда, вейвлет разложение позволяет выявить несколько периодик. Во первых, сверхнизкочастотные составляющие – с периодом более 400 дней. Их присутствие свидетельствует о наличии тренда, являющегося носителем основной мощности сигнала. Выявимы также амплитудно-модулированные гармоники с периодами около года, месяца, недели и кратных этим значениям периодов, на уровне от –15 дБ до –25 дБ (пик амплитуды принят за 0 дБ). Для детального изучения их формы и вклада в мощность сигнала, произведем анализ методом сингулярного разложения (SSA).
4.1.3. Сингулярный спектральный анализ временного ряда
Сингулярный спектральный анализ обработанного статистического ряда. Теоретические основы метода хорошо описаны в [11,12].
Приведем пример анализа и интерпретации полученных результатов ранее рассмотренного временного статистического ряда.
Длина окна L
выбрана равной 168, из соображений
приближения анализируемого периода к
полугодовому, кратному 7, и половине
длины ряда
.
Скользящие средние и стандартные отклонения на рис. 13.
Средние и среднеквадратические отклонения ряда
Осредненные ковариации ряда
Ряд нестационарен, средние убывают из-за наличия тренда. Однако ввиду выполненных преобразований, четко проявляется основная - недельная периодика (рис. 14).
Собственные числа и функции от них на рис. 15-16.
Собственные числа в процентах
Функции собственных чисел
Одномерные графики собственных функций (рис. 17):
Собственные функции 1-21
Одномерные графики главных компонент (рис. 18):
Главные компоненты 1-21
Двумерные графики собственных функций (рис. 19):
Собственные функции
Двумерные графики главных компонент (рис. 20):
Главные компоненты
Амплитуда сигнала логарифмирована. В соответствии с принципами анализа ГК [11,12,14-16], интерес для нас представляют компоненты 1-2, 3-6, 7-10, 18-19. Их двумерные графики имеют «регулярную» структуру, что отличает их от «шумовых» компонент. Компоненты 1-2 представляют ярко выраженный тренд, суммарная их составляющая 33,266%. Компоненты 3-6, 7-10, 18-19 представляют периодики. Их следует рассмотреть более подробно.
Третья ГК, период около 7 дней
3 ГК представлена на рис. 21. 3-4 ГК представляют гармонику с периодом около 7 дней. Общий вклад –19,452%. Пятая ГК представлена на рис. 22.
Пятая ГК, период около 3,5 дней
5-6 ГК представляют гармонику с периодом около 3,5 дней. Общий вклад пятой и шестой компоненты составляет 7,167%. Седьмая ГК изображена на рис. 23.
Седьмая ГК, период около 29 дней
7-10 ГК представляют гармонику с периодом около 29 дней. Их общий вклад составляет 8,806%. Девятнадцатая ГК представлена на рис. 24.
Девятнадцатая ГК, период около 2,5 дней
18-19 ГК представляют высокочастотную гармонику с периодом около 2,5 дней. Их общий вклад составляет 1,333%. Таким образом, сумму первых двух трендовых компонент можно интерпретировать как сверхнизкочастотную составляющую с окологодовым периодом. 3-4 компоненты – недельная периодика. 7-10 ГК – месячная периодика. Компоненты 5-6, 18-19 – высокочастотные составляющие. Интерпретация их затруднительна. Их появление может быть обусловлено дискретизацией данных. Остальные компоненты можно интерпретировать как шум.