2.4.2. Векторное ssa-прогнозирование

Алгоритм рекуррентного SSA-прогнозирования является основным прогно­зирующим алгоритмом в силу его непосредственной связи с линейными рекуррентными формулами. Векторное SSA-прогнозирование является модификацией рекуррентного, которая в ряде случаев может давать более точные результаты прогноза [13].

Сначала рассмотрим происхождение этого алгоритма. Вернем­ся к базовому методу SSA как методу анализа временных рядов и предположим, что целью является извлечение некоторой ад­дитивной компоненты из ряда F_N. Тогда, выбрав подходящую L, мы получим сингулярное разложение траекторной матрицы временного ряда F_N и можем выбрать собственные тройки , соответствующие ряду . Результирующая матрица будет иметь вид

. (7)

После диагонального усреднения, получаем восстановленный ряд , который является приближением к [3].

Заметим, что столбцы результирующей матрицы X_Iпринадлежат линейному пространству . Еcли ряд сильно отделим от ряда , тo совпадает с (траекторным пространством ряда ) и матрицаX_Iявляется ганкелевой, т.е. X_I – траекторная матрица ряда. Если и приближенно сильно разделимы, то пространство будет близко к пространству и матрица X_I будет приближенно ганкелевой.

Коротко идея «векторного прогноза» может быть описана сле­дующим образом. Представим себе, что мы можем продолжить по­следовательность векторов на M шагов таким образом:

1. векторы продолжения принадлежат тому же самому линейному пространству ;

2. матрица является приближенно ганкелевой.

Имея матрицу Х_М, мы можем получить ряд G_N+M с помощью диагонального усреднения. Так как первые элементы восстановлен­ного ряда совпадают с элементами ряда G_N+M, то последний может рассматриваться как прогноз ряда [3].

Опишем теперь формально алгоритм векторного прогноза более подробно.

Предварительные замечания:

1. Алгоритм векторного прогноза имеет те же самые входные данные, как и алгоритм рекуррентного SSA-прогнозирования.

2. Обозначения в пунктах рекуррентного прогноза остаются в силе. Введем еще несколько обозначений.

Рассмотрим матрицу

где .Матрица П является матрицей линей­ного оператора, задающего ортогональную проекцию , где .

Определим линейный оператор по формуле

_.

Алгоритм векторного прогноза [13]:

В обозначениях, введенных выше, определим векторы Zi следующим образом:

(8)

Образовав матрицу Z = [Z₁ : ... : Z_K+M+L-1] и проведя ее диагональное усреднение, мы получим ряд g₀,..., g_N+M+L-1.

Числа g_N,...,g_N+M-1 образуют M членов векторного про­гноза.

Прокомментируем свойства векторного прогноза. Во-первых, если является траекторным пространством ряда F_N, то резуль­таты векторного и рекуррентного прогноза совпадают. Хотя ре­зультаты и не отличаются, суть у рекуррентного и векторного про­гнозов разная. Рекуррентный прогноз выполняет продолжение ря­да непосредственно (с помощью ЛРФ) [13], в то время как векторный прогноз основан на L-продолжимости в подпространстве [3]. В случае приближенного продолжения эти два метода прогноза дают обыч­но разные результаты. Причем, чем хуже качество приближения, тем больше разница между результатами двух прогнозов.

Рекуррентный прогноз использует пространство _, чтобы получить прогнозирующую линейную рекуррентную формулу, не заботясь о том, чтобы это про­странство являлось траекторным также и для ряда прогноза.

Процедура векторного прогноза пытается выполнить L-продолжение временного ряда в ; любой век тор Z_i+1 =P^(v)Z_i принадлежит пространству , а векторы и настолько близки, насколько это возможно. Последняя координата вектора Z_i+1 получена из также с помощью ЛРФ, используемой при рекур­рентном прогнозировании. Однако так как матрица Z не являет­ся ганкелевой, то последующее диагональное усреднение, к сожа­лению, портит соотношение между точками прогноза, задаваемое этой ЛРФ.

Оба прогнозирующих метода имеют два этапа: диагональное усреднение и продолжение. При рекуррентном прогнозировании диагональное усреднение используется для получения восстанов­ленного ряда, к последним точкам которого затем применяется ЛРФ. Для векторного метода ситуация обратная: сначала строит­ся векторное продолжение, и только потом, для получения точек прогноза, используется диагональное усреднение [13].