§1.2. Линейные операции над векторами.
1.2.1. Определение. Линейными операциями над векторами назовем операции сложения двух векторов и умножения вектора на скаляр (число).
1.2.2. Определение.
Суммой
двух векторов
и
назовем вектор, идущий из начала вектора
в конец вектора
.
1.2.3. Правила сложения векторов.
а
)
Правило
треугольника
(Рис. 1.1)
Вектор прикладывается к концу вектора . Тогда сумма векторов будет вектор, идущий из начала вектора в конец вектора .
б) Правило параллелограмма (Рис. 1.2)
С
троим
на векторах
и
параллелограмм. Тогда суммой векторов
будет диагональ параллелограмма,
выходящая из общего начала векторов
и
.
Замечание.
П
равило
треугольника легко распространить на
случай большего количества суммируемых
векторов. В этом случае это правило
называется правилом
многоугольника
(Рис. 1.3 ).
Обозначим множество
свободных векторов через
.
1.2.4. Теорема. (Свойства операции сложения векторов)
1.
,
(коммутативность);
2.
(ассоциативность);
3.
;
4.
.
Доказательство:
1. Рассмотрим сумму векторов и , используя правило параллелограмма. Из Рис. 1.4
2. Из Рис. 1.5.
3. Третье свойство
очевидно:
4. Пусть
Положим
Тогда
1.2.5. Определение.
Разностью
двух векторов
и
назовем вектор
,
для которого
.
1
.2.6.
Правило вычитания векторов.
Разностью векторов двух векторов и является вектор , идущий из конца второго вектора в конец первого вектора (Рис. 1.6).
Замечание.
Очевидно, что
.
1.2.7. Определение.
Произведением
вектора
на действительное число
называется вектор
,
удовлетворяющий следующим условиям:
;
;
при
и
при
.
1.2.8. Теорема. (Критерий коллинеарности двух векторов).
Для того,
чтобы два вектора
и
были коллинеарны, необходимо и достаточно,
чтобы существовало действительное
число
,
что
.
Доказательство:
Необходимость.
Пусть
.
Рассмотрим вектор
,
где число
выберем следующим
образом: если
,
то
;
если
,
то
.
Очевидно,
,
так как
и
.
Таким образом, мы указали число
,
для которого
.
Достаточность.
Если , то из определения 1.2.7, очевидно, вытекает коллинеарность векторов и .
1.2.9. Теорема. (Свойства операции умножения вектора на число)
1.
(ассоциативность);
2.
(дистрибутивность
относительно суммы скаляров);
3.
(дистрибутивность
относительно суммы векторов);
4.
;
5.
;
6.
;
7.
.
Доказательство этих свойств очевидно, читатели могут легко проделать его самостоятельно.
1.2.10.
Определение. Делением
вектора
на действительное число
называется его умножение на число
.
Замечание.
Отметим, что орт вектора
§1.3. Ортогональная проекция вектора на направление.
1.3.1. Определение. Осью будем называть прямую, на которой заданы начало отсчета, масштаб (единица длины) и положительное направление.
1
.3.2.
Определение. Ортогональной
проекцией вектора
на направление (ось) l
называется число, равное длине отрезка
A1B1,
где A1
и B1
основания перпендикуляров, опущенных
из концов вектора
на направление l,
взятое со знаком плюс, если направление
вектора
совпадает с направлением l
и со знаком минус, если направление
вектора
противоположно направлению l.
Замечание.
Проекция вектора
на направление l
будем обозначать
.
Например, на Рис. 1.7
,
.
1.3.3. Свойства ортогональной проекции вектора на направление.
1.3.3.1. Теорема. (Свойство 1)
Проекция вектора на направление равна произведению его длины на косинус угла между вектором и положительным направлением оси:
,
где
.
1.3.3.2. Теорема. (Свойство 2)
Проекция суммы векторов на направление l равна сумме проекций слагаемых на это направление:
.
1.3.3.3. Теорема. (Свойство 3)
Проекция произведения вектора на число на направление l равна произведению этого числа на проекцию вектора на это направление:
.
Докажите эти теоремы самостоятельно.
Лекция 2.