§1.6. Скалярное произведение двух векторов.
1.6.1. Определение. Скалярным произведением векторов и называется действительное число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение
векторов
и
обозначается
или
.
Итак,
.
1.6.2. Теорема. (Свойства скалярного произведения двух векторов).
1.
;
2.
(скалярный квадрат вектора равен
квадрату его длины);
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7. если
,
то
;
8. если , то либо хотя бы один из векторов и равен нулю, либо и ортогональны.
Доказательство.
Первое и второе свойства непосредственно следуют из определения:
1. косинус – четная функция, поэтому неважно, как отсчитывается угол – от к или от к ;
2.
.
3. Используем первое
свойство ортогональной проекции (Теорема
1.3.3.1)
4. Используем предыдущее свойство 3 и второе свойство ортогональной проекции (Теорема 1.3.3.2):
.
5. Используем свойство 3 и третье свойство ортогональной проекции (Теорема 1.3.3.3):
.
Шестое, седьмое и восьмое
свойства очевидны (если
,
то
;
если
,
то
;
если произведение равно нулю, то
необходимо один из сомножителей, входящих
в определение (
,
либо
,
либо
)
равен нулю).
Замечание 1.
Так как направление нуль-вектора произвольно, то восьмое свойство можно переформулировать как необходимое и достаточное условие ортогональности векторов:
два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Замечание 2.
Механический смысл
скалярного произведения
заключается в следующем: если материальная
точка под воздействием силы
перемещается на вектор
,
то совершаемая этой силой работа равна
скалярному произведению
на
:
.
1.6.3. Теорема. (Выражение скалярного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе).
В ортонормированном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат.
Доказательство:
Пусть в ортонормированном базисе заданы векторы
,
.
Заметим, что вследствие ортонормированности базиса
Тогда
Следствие 1. (Вычисление длины вектора в ортонормированном базисе).
Следствие 2. (Вычисление координат орта вектора в ортонормированном базисе)
1.6.4. Вычисление ортогональной проекции вектора на направление в ортонормированном базисе
Из свойства 3 скалярного произведения (Теорема 1.6.2)
.
Замечание.
Если
,
то
.
Аналогично,
.
Таким образом, координаты вектора в
ортонормированном базисе являются его
ортогональными проекциями на направления,
заданные соответствующими ортами.
1.6.5. Вычисление угла между векторами в ортонормированном базисе.
Из определения скалярного произведения получим
,
откуда:
.
1.6.6. Определение. Косинусы углов, которые отличный от нуля вектор образует с векторами ортонормированного базиса, называются направляющими косинусами.
.
Замечание 1.
Легко видеть, что направляющие косинусы удовлетворяют соотношению
.
Замечание 2.
Из полученных выражений для направляющих косинусов видно, что они совпадают с координатами орта вектора.
.
Лекция 3.