Степенные ряды с комплексными членами. Доказать теорему Абеля. Круг схо­димости и правило его нахождения. Поведение ряда на окружности круга сходимо­сти.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

,где a, a₀, a₁, a₂, …, a_n, … –

некоторые числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

Теорема Абеля. Если степенной ряд c_n(z-z₀)ⁿ сходится в точке z ₁ z₀ , то он сходится и при z: |z-z₀|<|z₁-z₀ |, причем в круге |z-z ₀| ≤ <|z₁-z₀| сходится равномерно. Доказательство. В силу необходимого условия сходимости ряда A>0 : для n |c_n(z₁-z₀)ⁿ|<A =>|c_n|<A/|z₁-z₀|ⁿ =>|c_n(z-z₀)ⁿ|<A|(z-z₀)/(z₁-z₀)|ⁿ . По условию теоремы |(z-z ₀)/(z₁-z₀)|=q<1=>|c_n(z-z₀)ⁿ|<Aqⁿ => ряд сходится. При |z-z ₀|≤ <|z₁-z₀ | ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса т.к. |c_n(z-z₀)ⁿ|A| /(z₁-z₀)|ⁿ < Aqⁿ , q<1 .

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при x = x0, он расходится при всех x, таких что | x | > | x0 | . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга R (возможно, нулевой или бесконечный), что при | x | < R ряд сходится абсолютно (и равномерно по x на компактных подмножествах круга | x | < R), а при | x | > R — расходится. Это значение R называется радиусом сходимости ряда, а круг | x | < R — кругом сходимости.

- радиус

Круг сходимости степенного ряда — круг вида D = {z: | z − z₀ | < R}, ,

Сформулировать свойства степенного ряда в с.

Отметим здесь без доказательства три важных свойства степенных рядов:

1. Сумма S(x) степенного ряда

S(x)=a₀+a₁(x-a)+a₂(x-a)²+…+a_n(x-a)ⁿ+… (24)

является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости (a-R;a+R).

2. Ряд

φ(x)=a₁+2a₂(x-a)+…+na_n(x-a)^n-1+…, (26)

полученный почленным дифференцированием ряда (24), является степенным рядом с тем же, что и ряд (24), интервалом сходимости (a-R;a+R). Сумма ряда (26) φ(x)=S'(x).

 

Замечание. Ряд (26) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна и так далее. Таким образом, сумма ряда (24) является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости . Сумма ряда, полученного из ряда (24) n-кратным дифференцированием равна Область сходимости степенного ряда при дифференцируемости не меняется.

3. Пусть числа и принадлежат интервалу сходимости ряда (24). Тогда имеет место равенство

Доказать теорему Абеля о сходимости степенного ряда в С

Доказать теоремы о существовании круга сходимости степенного ряда в С, о его абсолютной и равномерной сходимости, о вычислении радиуса сходимости.

Теорема (о структуре области сходимости степенного ряда)

Областью сходимости степенного ряда (24) является интервал (a-R;a+R), к которому в зависимости от конкретных случаев могут быть присоединены точки a-R и a+R, где R=(если этот предел существует). В каждой точке интервала (a-R;a+R) ряд сходится абсолютно.

Доказательство. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

|a₀|+|a₁|^.|x-a|+|a₂|^.|x-a|²+…+|a_n|^.|x-a|ⁿ+… (25)

Применим к ряду (25) признак Даламбера

Возможны три случая:

1. Если или |x-a|<R или xЄ(a-R;a+R), то ряд (25) сходится, но тогда по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится и ряд (24), причём абсолютно.

2. Если , то ряд (25) расходится. В этом случае , то есть при достаточно больших n |u_n+1|>|u_n|, значит ≠0 и ≠0, следовательно, ряд (24) расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.

Определение. Интервал (a-R;a+R), называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Ряд Тейлора в К. Доказать теорему о достаточных условиях разложимости функции в ряд Тейлора

. Разложить в ряд Маклорена основные элементарные функ­ции (е^х. shx, ch:r, sin .r, cos.г. (l+.r)'", hi(l+x), arctg:r) и указать области, в которых справедливы данные разложения.

для всех

для всех и всех комплексных

Тригонометрический ряд. Доказать ортогональность тригонометрической си­стемы функций на отрезке [—М]. Вывести формулы для вычисления коэффициентов Эйлера.-Фурье тригонометрического ряда на отрезке [—/,/]-

Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида

(1)

где

Утверждение. Тригонометрическая система функций ортогональна на отрезке [- пи, пи].

формулы для вычисления коэффициентов

Доказать основные свойства частичных сумм ряда Фурье по ортонормирован-ной системе (наилучшая аппроксимация функции в смысле среднеквадратического отклонения). Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.

Неравенство Бесселя

Рассмотрим кусочно непрерывную функцию f (x), заданную в интервале [−π, π]. Ее разложение в ряд Фурье имеет вид

В неравенстве Бесселя устанавливается, что

Отсюда следует, что ряд сходится.

Равенство Парсеваля

Если f (x) является квадратично интегрируемой функцией в интервале [−π, π], так что выполняется соотношение

то неравенство Бесселя становится равенством. В этом случае справедлива формула Парсеваля:

Сформулировать условия разложимости функций в тригонометрический ряд Фу­рье. Разложение в тригонометрические ряды функций, заданных на интервале (0, /), по синусам и косинусам.

В зависимости от рода симметрии функции возможны некоторые упрощения. Если функция четная, т. е. f(-x)=f(x), то и функция разлагается в ряд по косинусам.

Если функция нечетная, т. е. f(-х)=-f(x), то и функция разлагается в ряд по синусам.

Предел последовательности комплексных чисел. Функция комплексного перемен­ного, ее действительная и мнимая части. Бесконечно удаленная точка

Определение. "Комплексное число z называется пределом последовательности {z_n }, если для   >0  N( ):  z_n-z < для  n ≥ N." Обозначения: {z_n}→ z; z_n=z.

Функция комплексного переменного ,

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной. Так как w = u + iv, z = x + iy, то зависимость w = f(z) можно записать в виде w = u + iv = f(z) = f(x + iy) = Re f(x+ iy) + i Im f(x+ iy). Таким образом, задание комплекснозначной функции w = f(z) комплексной переменной z равносильно заданию двух действительных функций u = u(x, y) = Re f(z), v = v(x, y) = Im f(z) двух действительных переменных х, у.

Единственная бесконечно удаленная точка комплексной плоскости. Все неограниченно возрастающие последовательности сходятся к этой единственной точке. Если {z_n} неограниченно возрастающая, то {_n=1/z_n}→ 0. Отсюда легко получить правила арифметических действий с бесконечно удаленной точкой: 1/∞ =0,. 1/0=∞ , z∞ =∞ , z ≠ 0, z+∞ =∞ , z/∞ =0, z≠∞ .

Определения функции комплексного переменного и предела комплексной функ­ции комплексного переменного. Теорема о равносильности существования предела функции комплексного переменного и пределов се действительной и мнимой частей.

Функция комплексного переменного ,

Предел ФКП. Определение. Пусть функция w = f(z) определена в проколотой окрестности точки z₀ = x₀ + iy₀. Комплексное число w₀ = u₀ + iv₀ называется пределом функции при z → z₀, если для любой ε-окрестности U(w₀, ε) (ε >0) точки w₀ найдётся такая проколотая δ-окрестность точки z₀, что для всех z значения f(z) принадлежат U(w₀, ε). Другими словами, если z₀ - собственная точка плоскости, то для любого ε > 0 должно существовать такое δ > 0, что из неравенства 0 < |z − z₀| < δ следует неравенство | f(z) − w₀| < ε (аналогично расписывается определение для несобственной точки z₀ = ∞). Таким образом, на языке ε - δ определение предела ФКП полностью совпадает с определением предела функции одной действительной переменной.         Неравенство | f(z) − w₀| < ε означает, что |(u(x, y) + iv(x, y)) − (u₀ + iv₀)| < ε, или |(u(x, y) - u₀) + i(v(x, y) − v₀)| < ε. Для модуля комплексных чисел справедливы все основные свойства абсолютной величины, в частности |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, поэтому |(u(x, y) - u₀) + i(v(x, y) − v₀)| < ε. Таким образом, существование предела функции комплексной переменной равносильно существованию пределов двух действительных функций u(x, y) и v(x, y) двух действительных   переменных

 

Определения непрерывности функции комплексного переменного в точке и в области. Теорема о равносильности непрерывности комплексной функции комплекс­ного переменного и непрерывности ее действительной и мнимой частей

Определение непрерывности f(z) в точке z0. Функция комплексной переменной f(z), zО g, называется непрерывной в точке z0О g, если $ ограниченный предел : f(z)= w0 и w0= f(z0), т.е. f(z)= f(z0). Очевидно, при этом достаточно малая d - окрестность точки z0 отображается f(z) на достаточно малую e - окрестность точки w0= f(z0). Определение непрерывности функции в точке в терминах  - .Функция комплексной переменной f(z), zО g, называется непрерывной в точке z0О g,   >0  ( ,z₀)>0 : для  z : |z-z₀|< ; |f(z)-f(z₀)| <

Функция комплексной переменной f(z), z g, называется непрерывной в области g, если она непрерывна в  z g. Обозначение: f(z) C(g).

Теорема. w = f(z) будет непрерывной в точке z₀ = x₀ + iy₀ тогда и только тогда, когда функции u(x, y) и v(x, y) непрерывны в точке (x₀, y₀),

Данное утверждение является следствием того, что необходимым и достаточным условием сходимости последовательности комплексных чисел является сходимость последовательностей их действительных и мнимых частей.

Теорема "Необходимым и достаточным условием сходимости {z_n}→ z= a+ib является требование {a_n}→ a; {b_n}→ b." Доказательство.

Необходимость. >0  N( ): z_n-z< для  n≥ N a_n-a≥z_n-z< , b_n-b≤z_n-z <  {a_n}→a, {b_n}→ b. Достаточность.  >0  N₁( ): a_n-a < /2 для  n ≥ N₁,  N₂(): b_n-b< /2 для  n ≥ N₂N=max{N₁,N₂}: z_n-z≤a_n-a+b_n-b< для  n ≥ N.

Определение дифференцируемое в точке функции комплексного переменного. Необходимость условий Коши-Римана для дифференцируемое™ функции комплекс­ного переменного. Теорема о достаточных условиях дифференцируемости функции комплексного переменного.

Пусть f(z) C(g). Определение. f(z) называется дифференцируемой в точке z₀g, если при z→ 0 ( z = z-z₀) конечный предел разностного отношения

где z₀g.

Если f(z)=u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема в точке z₀, то u_x(x₀,y₀), u_y(x₀,y₀), v_x(x₀,y₀), v_y(x₀,y₀), причем они связаны условиями Коши-Римана:

Доказательство.  z= x+i y. Т.к. предел, если он  , не зависит от способа стремления z → 0, то положим сначала z=x. Получим = u_x(x₀,y₀)+ iv_x(x₀,y₀)=*. Положив z=i y получим *= = -iu_y(x₀,y₀)+v_y(x₀,y₀). Приравнивая вещественную и мнимую часть получим u_x(x₀,y₀)=v_y(x₀,y₀) ; u_y(x₀,y₀)=-v_x(x₀,y₀). - условия Коши-Римана.

Определение функций е~, sin z, cos 2, sh 2, cli2 комплексного переменного z. Вы­вести формулы Эйлера. Вывести свойства функции е^г. Вывести формулы, связы­вающие функции sli2, chz с функциями sin2, cos 2.

От комплексного аргумента z = x + iy экспонента определяется следующим образом:

Ф-ла эйлера. Разложим функцию eix в ряд Тейлора по степеням x. Получим:

Но Поэтому

При помощи формулы Эйлера можно определить функции sin и cos следующим образом:

, .

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть x = iy, тогда:, .

Определение логарифмической функции Ln 2 комплексного переменного z и ее свойства. Главное значение In 2 логарифма.

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. Начнём с натурального логарифма, который обозначим и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что ez = w. Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:

, то логарифм находится по формуле:

Здесь  — вещественный логарифм, r = | w | , k — произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента в интервале ( − π,π]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

Вещественная часть логарифма определяется по формуле:

Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

Примеры (приведено главное значение логарифма):

Аналогично рассматриваются комплексные логарифмы с другим основанием.

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. В явном виде продолжение логарифма вдоль кривой Γ, не проходящей через 0, можно осуществить по формуле (соответствующую функцию также обозначаем ln)

При этом, если Γ — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма

Для любой окружности S, охватывающей точку 0: