Определение аналитической функции в точке (в области).

Аналитическая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция f называется аналитической в точке z0, если сужение функции f на некоторую окрестность z0 является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке z0, то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки z0.

Аналитическая функция (комплексного переменного) — функция комплексного переменного f(z) = u(z) + iv(z) (где u(z) и v(z) — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в некоторой области , называемой областью аналитичности, выполняется одно из трех равносильных условий:

Действительная и мнимая части аналитической функции z как сопряженные гар­монические функции. Нахождение аналитической функции по ее действительной (мнимой) части.

Аналитическая функция (комплексного переменного) — функция комплексного переменного f(z) = u(z) + iv(z) (где u(z) и v(z) — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в некоторой области , называемой областью аналитичности, выполняется одно из трех равносильных условий:

1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);

2. Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится и его сумма равна f(z) (аналитичность в смысле Вейерштрасса);

3. Интеграл для любой замкнутой кривой

(аналитичность в смысле Коши)

Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются гармоническими функциями, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа:

Если вылняются условия лапласа, мы находим вторую часть мнимую(действ) и интегрируем.

Дать определение интеграла от непрерывной функции комплексного переменного и сформулировать его основные свойства.

Интегралом от функции комплексно переменной f(z)=u(x,y)+iv(x,y) по кривой C комплексной плоскости z называется комплексное число, действительная и мнимая части которого есть криволинейные интегралы второго рода от действительной и мнимой частей f(z) вида: f(z)dz = [u(x,y)+iv(x,y)] (dx+idy)= udx-vdy +i vdx+udy. Замечания. 1) Достаточное условие существования- кусочная гладкость контура C и кусочная непрерывность и ограниченность |f(z)|. 2) Из этого определения и определения криволинейного интеграла II рода => $Sn=f(z)dz; Sn=f(zi*)D zi, причем предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек.

Свойстваf(z)dz .

Поскольку значение контурного интеграла зависит от направления интегрирования, условимся в качестве положительного направления обхода контура принимать направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остается слева от направления движения. Интегрирование в положительном направлении будем обозначать символом _c+ f(z)dz или просто _c f(z)dz, интегрирование в отрицательном направлении- f(z)dz. f(z)dz= -f(z)dz;

2) Линейность.

3) f(z)dz= f(z)dz+┘+ f(z)dz. 4) | f(z)dz||f(z)|ds ML_c; 5) Вычисление интеграла интегрированием по параметру: f(z)dz=f[z(t)] z '(t)dt. 6) Замена переменных. Пусть  ( ): z= ( ); C<=>  на плоскости  и  ( ) C (D) и однолистная в D, где D- область комплексной плоскости  , содержащая  . => f(z)dz= f[ ( )] '( )d .