Вопрос 1. Привести пример применения критерия Гурвица для заданного характеристического уравнения(не ниже 4-го порядка).

Пример 7.1

Рассмотрим следящую систему со структурной схемой, изображенной на рис.7.2.

Рис.7.2. Структурная схема простейшей следящей системы.

Передаточная функция следящей системы в разомкнутом состоянии

,

следовательно, дифференциальное уравнение замкнутой системы

. (7.3)

Соответствующее характеристическое уравнение получается заменой наs.Поставим задачу определения максимального коэффициента усиления, при котором система сохраняет устойчивость. Для этого воспользуемся критерием Гурвица. Определитель Гурвица будет иметь третий порядок

,

где ,,и. Первый диагональный минор, очевидно положителен и, следовательно, имеет знак, одинаковый с коэффициентом при старшей степени. Далее должно выполняться условие

,

откуда следует искомый результат

.

Вычислять весь определитель нет необходимости, т.к. в правом столбце все элементы равны нулю за исключением .

Попробуем получить этот же результат, записывая дифференциальные уравнения системы в форме Коши. Вектор состояния системы

,

где

,

, (7.3)

.

В соответствии с полученной формой Коши (7.3) запишем матрицу системы

.

Характеристическое уравнение

=0.

Нетрудно убедиться, что это уравнение тождественно уравнению (7.3).

Использованный здесь пример с успехом может иллюстрировать терминологию, принятую в определении устойчивости. Заметим во-первых, что критерий отрицательности действительных частей корней не требует их вычисления. Если мы все же хотим построить переходный процесс, то эти корни следует вычислить. Без ограничения общности зададимся следующими значениями параметров:

T=0.1 c,

с,

k=50 с^-1.

В этом случае корни характеристического уравнения

(7.4)

имеют следующие значения

Общее решение системы (7.3) запишем в виде

(7.5)

где и- вещественная и мнимая части второго и третьего корней (7.4).

Две другие компоненты вектора состояния найдем дифференцированием (7.5)

и

(7.6)

Постоянные интегрирования находим из начальных условий. Без ограничения общности положим Тогда

,

,

Ограничиваясь четырьмя значащими цифрами, запишем выражения для компонент вектора состояния для найденных значений корней характеристического уравнения

,

,

.

Пусть теперь нам заданы числа иT = 3 c.Требуется найти такое значение , чтобы согласно определению устойчивости норма вектора состояния, начиная с трех секунд, не превышала 0.001. В качестве нормы возьмем евклидово выражение

. (7.7)

Непосредственно воспользоваться определением (7.7) в нашем случае однако нельзя, ибо компоненты не нормированы (не приведены к одинаковым единицам измерения). Поэтому их нельзя суммировать. Для того, чтобы выражение (7.7) стало корректным, достаточно поделить, например, x₁ на , аx₂ на . Далее заметим, что первое слагаемое в квадратных скобках затухает настолько быстро, что приT = 3 c им можно пренебречь. Таким образом, приведенные значения компонент равны

Из неравенства

вычисляем требуемое значение радиуса трехмерного шара Все траектории, начинающиеся внутри этого шара, удовлетворяют формальному определению устойчивости.

В случае нарушения условий устойчивости такой окрестности начала координат подобрать невозможно. Положив, например, в нашей задаче k=150 c^-1 , мы получили бы характеристическое уравнение

с корнями

Мы видим, что при нарушении условия устойчивости из-за слишком большого коэффициента усиления k сразу два корня характеристического уравнения перешли в правую полуплоскость корней.

В приведенном примере критерий Гурвица оказался достаточно простым в применении. В случае системы, описываемой дифференциальным уравнением высокого порядка, применение этого критерия обычно связано с громоздкими вычислениями. Кроме того, критерий Гурвица зачастую лишен графической наглядности, которая способствует оценке влияния сразу многих параметров на устойчивость. Этим недостатком не страдают частотные критерии, к изучению которых мы и приступим в следующей лекции.

Билет 15.