Связь между системами координат
Для определения связи между введёнными системами координат найдём матрицы последовательных поворотов, которые получим, проецируя оси «новых» систем координат на оси «старых».
Одна матрица поворота описывает поворот системы координат вокруг какой-либо из её осей на определённый угол. Таким образом, каждая из матриц поворота описывает поворот какого-либо элемента механической системы ДНГ на определённый угол вокруг одной из осей связанной с ним системы координат.
Наклон вала относительно основания на угол α2:
|
|
(8) |
Наклон вала относительно основания на угол β 2:
|
|
(9) |
Поворот колец вместе с валом относительно основания на угол φ:
|
|
(10) |
Наклон первого кольца относительно вала и наклон ротора относительно второго кольца на угол α:
|
|
(11) |
Наклон второго кольца относительно вала и наклон ротора относительно первого кольца на угол β:
|
|
|
(12) |
Наклон маховика относительно вала на угол α1:
|
|
|
(13) |
Наклон маховика относительно вала на угол β1:
|
|
|
(14) |
3.7. Вывод уравнений движения динамически настраиваемого гироскопа с учётом угловой податливости скоростной опоры.
Для вывода уравнений математической модели ДНГ, учитывающей упругую угловую податливость скоростной опоры, воспользуемся II методом Лагранжа. Выбор данного метода обусловлен тем, что он несложно реализуется с помощью программных средств компьютера.
Уравнение Лагранжа второго рода записывается следующим образом:
|
|
(15) |
где T – кинетическая энергия системы,
qi – обобщённая координата,
Qi – обобщённая сила.
При выводе уравнений примем ряд допущений:
рассматриваемая механическая система абсолютно жёсткая, не считая податливости упругих элементов подвеса и угловой податливости скоростной опоры;
каждый упругий элемент подвеса имеет угловую податливость только вокруг одной оси;
центр масс маховика находится в точке пересечения осей подвеса;
вал вращается с постоянной угловой скоростью;
составляющей переносной угловой скорости, направленной вдоль оси собственного вращения, пренебрегаем;
углы отклонения ротора относительно вала и вала относительно корпуса являются величинами первого порядка малости (на практике они составляют единицы-десятки угловых минут)
В качестве обобщённых примем координаты, изменяющиеся в осях, не участвующих в быстром собственном вращении ротора, так как именно в этих осях происходит съём информации у управление движением маховика.
Обобщёнными координатами будем считать углы наклона ротора относительно вала α1, β1 и углы наклона вала относительно корпуса (основания) α2, β2.
Для вывода уравнений движения напишем программу в среде компьютерной алгебры Wolfram Mathematica. Алгоритм работы программы представлен на рис. 3.9. Исходный код представлен в приложении А.
Рис. 3.9. Алгоритм работы программы вывода уравнений математической модели ДНГ
Рассмотрим подробнее процесс получения уравнений движения динамически настраиваемого гироскопа с учётом угловой податливости скоростной опоры методом Лагранжа II рода.