8.2 Непрерывные двумерные случайные величины.

Случайный вектор называется (абсолютно) непрерывным, если его функция распределения представляется в виде , , , где -неотрицательная и интегрируемая в бесконечных пределах функция, называемая функцией плотности вероятностей (совместной). Функция распределения непрерывного случайного вектора является непрерывной функцией на всей числовой плоскости.

Функция является плотностью вероятностей некоторого непрерывного случайного вектора , тогда и только тогда, когда:

1) ; 2) .

В точках непрерывности функции : .

Для непрерывного случайного вектора с плотностью вероятностей вероятность любого события вида , вычисляется по формуле: .

Частные плотности вероятностей компонент находятся интегрированием совместной плотности: , .

Непрерывные случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда , . В противном случае они зависимы.

Числовые характеристики , вычисляют по формулам: ,

Вероятность события , где -постоянная величина, находится по формуле , где интегрирование распространяется на все значения переменных , для которых .

В задачах 12.221-12.222 двумерная непрерывная случайная величина задана совместной функцией распределения . Требуется: а) найти функции распределения составляющих случайных величин , и выяснить являются они зависимыми или нет; б) найти совместную функцию плотности вероятностей ; в) вычислить вероятность для указанной области .

12.221

- прямоугольник , .

12.222

- квадрат , .

В задачах 12.223-12.224 двумерная случайная величина задана совместной функцией плотности вероятностей .Требуется:

а) найти неизвестную постоянную ; б) найти функции плотности вероятностей составляющих случайных величин , и выяснить являются они зависимыми или нет; в) вычислить , , а также вероятность для указанного значения постоянной .

12.223 .

12.224 .

12.225 Двумерная случайная величина равномерно распределена в указанной области . Найти: совместную функцию плотности вероятностей ; функции плотности вероятностей составляющих случайных величин , и выяснить являются они зависимыми или нет; центр рассеивания , если: а) ;

б) ; в) .

§9 Функции случайных величин.

Пусть - случайная величина, заданная на вероятностном пространстве ,A, ) и - числовая функция, область определения которой включает в себя множество возможных значений . Случайную величину , которая каждому ставит в соответствие число называют функцией от скалярной случайной величины и пишут .

Функция от дискретной случайной величины также является дискретной. Если задана рядом распределения , , то рядом распределения случайной величины является ряд: , , , где -различные числа среди чисел , ( суммирование распространяется на все значения индекса для которых ).

Функция от непрерывной случайной величины может быть как непрерывной, так и дискретной случайной величиной.

Если задана плотностью вероятностей и является монотонной (возрастающей или убывающей) дифференцируемой функцией, то плотность вероятностей случайной величины определяется формулой: , где - функция, обратная к функции . Если является дифференцируемой кусочно-монотонной (имеющей интервалов монотонности) функцией, то плотность вероятностей случайной величины определяется формулой , где - функция, обратная к функции на -ом интервале её монотонности (возрастания или убывания).

Для вычисления числовых характеристик неслучайной функции от случайной величины можно не знать закон распределения зависящей от случайной величины , а достаточно знать закон распределения случайного аргумента . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , если они существуют, могут быть найдены по формулам:

1) , , если дискретная случайная величина задана рядом распределения , , где ; 2) , , если непрерывная случайная величина задана плотностью вероятностей .

Пусть - случайная вектор, заданный на вероятностном пространстве ,A, ) и - числовая функция, область определения которой включает в себя множество возможных значений . Случайную величину , которая каждому ставит в соответствие число называют функцией от случайного вектора и пишут .

Функция от дискретного случайного вектора также является дискретной. Если задан таблицей распределения , , , где , то рядом распределения случайной величины является ряд: , , где - различные числа среди чисел , , , (суммирование распространяется на все значения индексов и для которых ).

Для вычисления числовых характеристик неслучайной функции от случайного вектора достаточно знать закон распределения случайного аргумента . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , если они существуют, могут быть найдены по формулам:

1) , , если дискретный случайный вектор задан таблицей распределения , , , где ;

2) , , если непрерывный случайный вектор задан совместной плотностью вероятностей .

12.226 Дискретная случайная величина задана рядом распределения . Найти распределение случайной величины и вычислить , если:

а) ; б) ; в) ; г) .

12.227 Распределение двумерной дискретной случайной величины задаётся таблицей распределения вероятностей:

	Y
X		0	1
	0.07	0.1	0.13
1	0.2	0.23	0.27

Найти ряд распределения вероятностей случайной величины и вычислить , если:

а) ; б) .

12.228 Непрерывная случайная величина , возможные значения которой заключены в интервале , задана функцией плотности вероятностей . Найти функцию плотности вероятностей случайной величины , если:

а) ; б) ; в) ; г) .

12.229 Непрерывная случайная величина равномерно распределена в интервале . Найти функцию плотности вероятностей случайной величины , если:

а) ; б) ; в) .

12.230 Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения ~ . Доказать, что линейная функция также имеет нормальный закон распределения, причём , .

12.231 Случайная величина задана функцией плотности вероятностей . Найти математическое ожидание функции , если:

а) б) .

12.232 Рассматривая диаметр круга как случайную величину, распределённую равномерно в интервале , найти математическое ожидание площади круга .

12.233 Рассматривая ребро куба как случайную величину , распределённую равномерно в интервале , найти математическое ожидание объёма куба .

12.234 Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

12.235 Случайные величины и независимы и распределены равномерно: - в интервале , - в интервале . Найти и .