§7 Основные законы распределения одномерных случайных величин.

7.1 Биномиальное распределение .

12.171 Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение , если: , .

Доказать, что: , .

12.172 Найти математическое ожидание и дисперсию ДСВ - числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна .

12.173 Найти дисперсию ДСВ - числа появлений события в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что

12.174 Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании. Найти вероятность появления события в одном испытании, если дисперсия числа появлений этого события в трёх независимых испытаниях равна .

12.175 По одному из тиражей денежно-вещевой лотореи куплено 100 билетов. Среднее квадратичное отклонение числа выигравших билетов равно . Найти вероятность выигрыша по одному билету лотореи.

12.176 Вероятность того, что при трёх выстрелах стрелок попадёт в цель, хотя бы один раз, равна . Найти и случайной величины - числа попаданий при 20 выстрелах.

7.2 Распределение Пуассона .

12.177 Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона если: , .

Доказать, что: , .

12.178 В течение часа на станцию скорой помощи поступает случайное число вызовов , распределённое по закону Пуассона с параметром . Найти вероятности того, что в течение часа поступят: а) ровно два вызова; б) не более двух вызовов; в) не менее двух вызовов (Указание: принять )

12.179 Число вызовов, поступающих на АТС (автоматическая телефонная станция) каждую минуту, распределено по закону Пуассона с параметром . Найти вероятности того, что минуту на АТС поступят: а) ровно три вызова; б) хотя бы один вызов; в) менее пяти вызовов (Указание: принять ) .

12.180 Вероятность, что в течение часа на станцию скорой помощи не поступит ни одного вызова, равна . Считая, что число вызовов , поступающих в течение часа на станцию, имеет распределение Пуассона, найти её математическое ожидание и дисперсию .

7.3 Геометрическое распределение .

12.181 Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение , если: , .

Доказать, что: , .

12.182 Производятся многократные испытания некоторого элемента на надёжность до тех пор, пока элемент не откажет. Вероятность отказа элемента в каждом испытании равна . Составить закон распределения ДСВ - числа произведённых опытов и найти её математическое ожидание и дисперсию.

12.183 Вероятность поражения цели равна 0.05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Составить закон распределения ДСВ - числа произведённых выстрелов и найти вероятность того, что для поражения цели потребуется сделать не менее пяти выстрелов.

12.184 В большой партии изделий вероятность брака равна . Контроль качества проводится до первого появления бракованного изделия. В результате серии проверок обнаружено, что бракованное изделие впервые появлялось в среднем при десятом испытании. Найти вероятность брака .