Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

стр_175-190_ГЛАВА_8.doc

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

§2.Функциональные ряды.

Выражение вида , где - последовательность функций, определённых на одном и том же множестве , называется функциональным рядом, определённым на и обозначается . Функция называется -ой частичной суммой функционального ряда.

Точка , в которой сходится числовой ряд , называется точкой сходимости функционального ряда. Множество , состоящее из всех точек сходимости функционального ряда, называется его областью сходимости. Область сходимости функционального ряда обычно уже, чем область его определения .

Ряд называется абсолютно сходящимся на множестве , если при всех сходится ряд . Всякий ряд, абсолютно сходящийся на множестве , сходится на этом множестве. Область абсолютной сходимости ряда обычно уже его области сходимости .

Функцию , определённую в области сходимости функционального ряда такую, что при любом фиксированном , называют суммой ряда и пишут . При остаток ряда представляет собой также функцию , где при и при любом .

Для нахождения области сходимости ряда применяют известные признаки сходимости числовых рядов, считая фиксированным.

В частности, на основании признаков Даламбера и Коши (радикального) можно утверждать, что ряд сходится (и притом абсолютно), если и , соответственно, и расходится, если . В точках , в которых , сходимость ряда исследуют с помощью других признаков (например, признаков сравнения, интегрального признака Коши, признака Лейбница) .

В задачах 8.125-8.139 найти области сходимости следующих функциональных рядов:

8.125 . 8.126 . 8.127 .

8.128 . 8.129 . 8.130 .

8.131 . 8.132 . 8.133 .

8.134 . 8.135 . 8.136 .

8.137 . 8.138 . 8.139 .

§ 3. Степенные ряды.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида , где - действительные числа. Числа называются коэффициентами ряда.

Всякий степенной ряд сходится в точке .

Радиусом сходимости степенного ряда называется число такое, что при ряд сходится (и притом абсолютно), а при расходится. Интервал при этом называется интервалом сходимости ряда. На концах интервала сходимости, т.е. в точках , ряд может как сходится, так и расходится.

Областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости , к которому присоединяются точки , если в них ряд сходится. В частности, радиус сходимости может быть равен , тогда область сходимости ряда состоит из одной точки , и , тогда областью сходимости ряда является вся числовая прямая.

Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера или Коши (радикального), вычисляя пределы или и решая неравенство .

Для степенного ряда интервал сходимости можно найти, вычислив его радиус сходимости по формулам или (указанными формулами нельзя пользоваться, если степенной ряд содержит члены только с чётными или только нечётными степенями ).

В задачах 8.140-8.160 найти область сходимости следующих степенных рядов:

8.140 . 8.141 . 8.142 .

8.143 . 8.144 . 8.145 . 8.146 . 8.147 . 8.148 . 8.149 . 8.150 . 8.151 . 8.152 . 8.153 . 8.154 .

8.155 . 8.156 .8.157 . 8.158 . 8.159 . 8.160 .

Внутри общего интервала сходимости степенные ряды можно почленно складывать и вычитать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:

Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:

1) ;

2) .

Степенной ряд называется рядом Тейлора функции в точке . При ряд Тейлора называется рядом Маклорена: .

Представление функции в виде , называется разложением в ряд Тейлора. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда остаток ряда при для всех из некоторой окрестности точки , входящей в интервал сходимости ряда. Для оценки остатка ряда Тейлора часто пользуются формулой , где .

При разложении функций в степенные ряды, как правило, используют основные разложения элементарных функций в ряд Маклорена (Приложение 5). Иногда при разложении используют почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных дробей рекомендуется представлять их в виде суммы простейших дробей.

В задачах 8.161-8.178 используя основные разложения элементарных функций (Приложение 5), а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, разложить функции в ряд Маклорена и указать интервалы сходимости полученных рядов.

8.161 . 8.162 . 8.163 .