§4. Ряды Фурье. Интегралы Фурье.

Тригонометрическим рядом Фурье функции на отрезке называется функциональный ряд вида , где числа и , называемые коэффициентами Фурье функции , вычисляются по формулам:

, , .

Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы так, что на каждом из интервалов функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Если функция на отрезке кусочно-монотонна и непрерывна, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, то во всякой точке , в которой непрерывна, функцию можно разложить в тригонометрический ряд Фурье . В точках разрыва функции и точках сумма ряда Фурье определяется формулами и .

В частности, если: 1) функция - чётная, то в точках непрерывности функции имеет место разложение ,где , ;

2) функция - нечётная, то в точках непрерывности функции имеет место разложение , где , .

Если функция задана только в интервале , то её можно продолжить в интервал либо как чётную, либо как нечётную, а затем разложить её в интервале в неполный ряд Фурье по синусам или по косинусам.

В задачах 8.194-8.202 разложить следующие функции в ряд Фурье в интервале :

8.194 . 8.195 .

8.196 . 8.197 .

8.198 . 8.199 . 8.200 .

8.201 . 8.202 .

В задачах 8.203-8.206 разложить функции в ряд Фурье в интервале :

8.203 . 8.204

8.205 . 8.206 .

В задачах 8.207-8.210 разложить функции в неполные ряды Фурье в интервале : а) по косинусам, б) по синусам.

8.207 . 8.208 .

8.209 8.210

Функция называется абсолютно интегрируемой на , если интегрируема на любом отрезке числовой прямой, и существует несобственный интеграл .

Если функция на любом отрезке числовой прямой кусочно-монотонна и непрерывна, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, а также абсолютно интегрируема на , то в каждой точке , в которой непрерывна, функция представляется интегралом Фурье , где и . В точках разрыва функции имеет место равенство .

В частности, если: 1) функция - чётная, то в точках непрерывности функции имеет место равенство , где ; 2) функция - нечётная, то в точках непрерывности функции имеет место равенство , где .

Если функция задана только в интервале , то её можно продолжить в интервал либо как чётную, либо как нечётную, а затем представить её в интервале неполным интегралом Фурье по синусам или по косинусам.

В задачах 8.211-8.216 представить в интервале интегралом Фурье, следующие функции:

8.211 . 8.212 .

8.213 . 8.214 .

8.215 . 8.216 .

В задачах 8.217-8.218 функцию в интервале представить интегралом Фурье, продолжив её нечётным образом на интервал .

8.217 . 8.218 .

В задачах 8.219-8.220 функцию в интервале представить интегралом Фурье, продолжив её чётным образом на интервал .

8.219 . 8.220 .

196