mat_analiz

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше значение λ . Будем производить разбиение стержня на части таким образом, чтобы λ стремилось к нулю (тогда n → ∞ !). Этим разбиениям будет соответствовать последова-

тельность сумм (1). Тогда

2. Задача о пройденном пути

Пусть точка М движется по прямой в течение времени от t=a до t=b и пусть скорость движения в момент времени t есть v = v(t ). Предположим так-

же, что функция v(t ) непрерывна на [a; b].

237

Задача. Зная значения a и b и функцию v(t ), найти путь S, пройденный точкой М.

Решение. Если бы точка М двигалась равномерно, то есть v = v(t )= const , то

s = v (b − a).

Однако по условию скорость является непрерывной функцией времени v = v(t ).

Выполним следующие действия:

1) Разобьем весь промежуток времени [a; b] на частичные промежутки точ-

ками tk (k = 0, 1, 2, K, n):

a = t0 < t1 < t2 <K< tn = b .

Обозначим λ = max(tk −tk −1 ), k =1, K, n .

2)За малый промежуток времени [tk −1 ; tk ] скорость v(t ) не успевает заметно измениться. Будем считать, что за этот промежуток времени происходит равномерное движение со скоростью v(τk ), где τk - произвольным образом выбранная толчка из промежутка [tk −1 ; tk ].

3)Тогда путь S k , пройденный точкой М за промежуток времени [tk −1 ; tk ], бу-

дет приближенно равен

S k ≈ v(τk )(tk −tk −1 ).

Следовательно, путь S, пройденный за время от t=a до t=b, равен

Это равенство тем точнее, чем меньше λ . Устремляя λ к нулю (а тогда n → ∞), в пределе получим

n

S = lim ∑v(τk )(tk −tk −1 ).

λ→0 k =1 (n→∞)

238

§ 2. Определение и геометрическая интерпретация определенного интеграла

n

σn = ∑ f (ξk )∆x k . k =1

Эту сумму называют интегральной суммой для функции f (x ) по от-

резку [a; b].

5)Увеличивая неограниченно n, будем измельчать дробление так, чтобы

λ→ 0 . Получится последовательность интегральных сумм {σn }. Найдем

lim σn .

λ→0 (n→∞)

Если существует конечный предел интегральных сумм, не зависящий ни от способа дробления отрезка ни от выбора точек ξk , то он называется опреде-

ленным интегралом от функции f (x ) на отрезке [a; b] и обозначается

b

∫ f (x )dx .

a

Таким образом, по определению имеем

239

Переменная х называется переменной интегрирования, a и b – соответст-

венно нижним и верхним пределами интегрирования. Функция, для кото-

b

рой существует ∫ f (x )dx , называется интегрируемой на отрезке [a; b].

a

Рассмотрим вопрос о том, какие функции являются интегрируемыми? Ответом служат две теоремы.

Теорема 1. Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a; b], то она ин-

тегрируема на нем.

Теорема 2. Если функция f (x ) кусочно-непрерывна1 на отрезке [a; b],

то она интегрируема на этом отрезке.

Таким образом, возвращаясь к рассмотренным выше задачам, получа-

ем:

– масса неоднородного стержня длины l вычисляется по формуле

l

m = ∫ρ(x )dx ,

0

где ρ(x ) - функция плотности;

– путь, пройденный неравномерно двигающейся точкой за время от t=a до t=b, вычисляется по формуле

b

S = ∫v(t )dt ,

a

где v(t ) - функция скорости.

Геометрическая интерпретация определенного интеграла

Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная неотрицательная функция

f (x ) ( f (x )≥ 0 на [a; b]).

Плоская фигура, ограниченная прямыми x=a и x=b, осью Ox и графиком функции y = f (x ), называется криволинейной трапецией (см. рис. 3).

1 Функция f (x ) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна во всех точках отрезка, за исключением конечного числа точек разрыва I-го рода.

240

y

y=f(x)

k =1

равна площади S сф ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников,

вписанных в криволинейную трапецию (см. рис. 4).

y

y=f(x)

x

0 x0=a x1 x2 - - - - xn–1 xn=b

Рис. 4

Площадью криволинейной трапеции считают предел площадей ступенчатых фигур, получаемых при неограниченном увеличении n числа точек дробления отрезка [a; b] и при условии, что λ → 0 , где λ - ранг разбиения:

Так как функция f (x ) непрерывна на отрезке [a; b], то этот предел су-

ществует и является определенным интегралом от функции f (x ) на отрезке

[a; b].

241

Таким образом, геометрически интеграл от непрерывной неотрицательной на отрезке [a; b] функции f (x ) есть площадь криволинейной трапе-

ции, ограниченной линиями x=a, x=b, осью Ox и графиком функции y = f (x ):

b

S = ∫ f (x )dx .

a

В отдельных случаях геометрический смысл интеграла позволяет указать его величину.

Пример. 1. Найти

3

∫xdx .

0

Решение. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями y = x, x = 3, y = 0 (см. рис. 5).

Рис 5

Эта трапеция является прямоугольным равнобедренным треугольником. Его площадь равна

Решение. Здесь криволинейная трапеция ограничена линией y = R 2 − x 2 и координатными осями (см. рис. 6).

242

y

R y = R 2 − x2

Рис. 6

Рассматриваемая трапеция есть четверть круга радиуса R, площадь ко-

есть f (x )≤ 0 , то площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

S = −∫b f (x )dx .

a

§ 3. Основные свойства определенного интеграла

Будем предполагать, что все подынтегральные функции непрерывны на отрезках интегрирования (следовательно, интегрируемы на этих отрезках). 1. Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

∫a f (x )dx = 0 .

a

2. ∫b dx = b − a .

a

3.Если поменять местами пределы интегрирования, то интеграл изменяет лишь знак:

∫a f (x )= −∫b f (x )dx .

ba

4.Для любых a, b, c справедливо равенство

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

243

∫b сf (x )dx = с∫b f (x )dx .

aa

6.Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

∫b ( f (x )± g(x ))dx = ∫b f (x )dx ± ∫b g(x )dx .

7.Неравенство между функциями можно интегрировать при a<b, то есть если f (x )≤ ϕ(x ), то

∫b f (x )dx ≤ ∫b ϕ(x )dx .

В частности:

а) если m ≤ f (x )≤ M , то m(b − a)≤ ∫b f (x )dx ≤ M (b − a);

a

б) если f (x )≥ 0 на [a; b], то ∫b f (x )dx ≥ 0 .

a

8.Оценка интеграла. Если f (x ) ≤ K для всех x [a; b], то справедливо нера-

венство

Геометрическая интерпретация последнего утверждения: если f (x )≥ 0

на отрезке [a; b], то существует, по крайней мере, одно число с такое, что

244

площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника

AB′C ′D (см. рис. 7).

y

Рис. 7

10. Определенный интеграл зависит только от вида функции f (x ) и преде-

лов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначать любой буквой:

∫b f (x )dx = ∫b f (t )dt .

aa

§4. Определенный интеграл как функция своего верхнего предела

Пусть функция f (x ) непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда для любого x [a; b] существует интеграл

∫x f (t )dt .

a

Ясно, что интеграл ∫x f (t)dt зависит от х, то есть, является функцией от х.

a

Обозначим ее через Φ(x ). Имеем

Φ(x )= ∫x f (t)dt .

a

Теорема 3. Функция Φ(x ) дифференцируема на отрезке [a; b], причем

то есть производная определенного интеграла по его переменному верхнему пределу интегрирования равна значению подынтегральной функции в точке верхнего предела интегрирования.

245

Пример 3.

Равенство (4) означает, что функция Φ(x ) является первообразной для функции f (x ).

§ 5. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x ) задана и непрерывна на отрезке [a; b]. Рассмотрим

деляется формулой ∫ f (x )dx = F (x )+С , где F (x ) - одна из первообразных для функции f (x ).

Первообразная Φ(x ) входит в это семейство при каком-то значении C 0

Значит, Φ(x )= F (x )− F (a) и Φ(b)= F (b)− F (a). Так как

Φ(b)= ∫b f (t )dt = ∫b f (x )dx , то получена формула

∫b f (x )dx = F (b)− F (a).

a

Эта формула носит название формулы Ньютона-Лейбница.

246