Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mat_analiz

.pdf

Скачиваний:

176

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3632 33 34 35 36 > Следующая >>>

Частное решение в этом случае будет иметь вид:

y2 = xk (Qs (x) cosνx − Rs (x)sinνx)	(16)
где Qs (x) и Rs (x) полиномы степени s = max{n, m}.
Пример 5. Найти общее решение уравнения:
y′′+ 4y′ =15cos 3x −30sin 3x	(17)

Решение. Найдем сначала общее решение соответствующего однородного

уравнения	y′′+ 4y′ = 0 :
	λ2 + 4λ = 0 ; λ1 = 0 , λ2 = −4
	у1 = С1 +С2е−4x

Составим контрольное число µ +νi = 0 + 3i = 3i и сравним его с корнями характеристического уравнения. Контрольное число не совпадает ни с одним из корней, поэтому в формуле (15) полагаем к=0 и будем искать частное решение неоднородного уравнения (17) в виде:

y2 = Аcos3x + Вsin 3x

Найдем y2′ , y2′′ и подставим в уравнение (17):

y2′ = −3Аsin 3x + 3Вcos 3x y2′′ = −9 Аcos3x −9Вsin 3x

(−9Аcos 3x −9Вsin 3x ) + 4(−3A sin 3x + 3B cos 3x )=15 cos 3x −30 sin 3x

Раскроем скобки и перегруппируем, собрав члены, содержащие cos 3x и

sin 3x :

(−9A +12B )cos 3x + (−3B −12A)sin 3x =15 cos 3x −30 sin 3x

Приравняв коэффициенты при cos 3x и sin 3x в левой и правой частях равенства, получим:

cos 3x : −9A +12B =15 sin 3x : −9B −12A = −30

Решая систему, получаем A=1, B=2,

Тогда y2 = cos 3x + 2 sin 3x

Следовательно, общее решение уравнения (17):

y = C1 +C 2e−4x + cos 3x + 2sin 3x

309

Замечание. Если необходимо найти частное решение неоднородного ЛДУ, удовлетворяющее начальным условиям, то поступают следующим образом: находят общее решение неоднородного ЛДУ, а затем с использованием начальных условий составляют систему уравнений относительно постоянных С1 и С2, участвующих в записи общего решения.

Решив эту систему, находят конкретные значения С1 и С2.

Задания для самостоятельной работы

Найти общие решения уравнений:

y′′+ 7y′+12y = 24x 2 +16x −15 ;

y′′+ 3y′ = 9x ;

y′′− 2y′+ y = ex ;

y′′− 2y′+ y = (6x 2 − 4)ex ;

y′′+ 4y′+ 4y = 2sin 2x +3cos 2x ;

y′′+ 9y = cos 3x .

Ответы:

1 . y = C1e−3x +C 2e−4x + 2x 2 − x −1;

2 . y = C1 +C 2e3x +

x 2

− x ;

3 .

y = (C1 +C 2 x )e

;

4 . y = e

;

C1 +C 2 x

− 2x

5 .

y = e−2x (C1 + xC 2 )−

cos 2x +

sin 2x ;

6 . y = C1 cos 3x +C 2 sin 3x +

x sin 3x .

310

Лабораторная работа №1

Задание 1. Найти пределы:

1. lim	(x −1)(x 2 −3);
x →∞	x 3 + 4x +5

3.lim (n −1)8 +(n +1)8 ;

n→∞ (n +1)8 +(n + 2)8

5.	lim		(x +1)(x 5 +1)			;
5.	lim					;
	x →∞		(x 2 + 4)2 (x +3)3
7.	lim	1+8 +15 +K+(7n −6);
	n→∞			n3
9.	lim		x +	x + x	;
	x →∞	3		x

Задание 2. Найти пределы:

Пределы

2. lim	3 n6 +1	;
	n2 + 4 + n)2
n→∞ (

4.lim (x + 4)8 −(x +3)7 ;

x→∞ (x +1)6 −(x + 2)8

6. lim n ( n +1 −1);

n→∞ n3 +3n +1


8. lim	(n +1)! + n!		;

n→∞		(n +3)!
10. lim		4 x 5 + 2 − 3 x 2 +1 .

x →∞ 5 x 4 + 2 + 3 x +1

lim

x 3 − x 2 − x +1

;

lim

x 2 −5x + 6

;

x →1 x

4 + 2x 3 − x 2 − 2x

x →2 x 3 − 2x 2 − x + 2

lim x

x − x +

x −1

;

lim

5x 4 −6x 3 +1;

x →1

x x − x

x →1

x 2 −2x +1

lim 1−

1+ x 2

;

lim

x 3 +8

;

x →0 x 2 +9 −3

x →−2

x + 6 −

lim

x +

x 3

;

lim

3 −

5 + x

;

x →0

5 − x − 5 + x

x →4

1− 5 − x

x −1

;

10. lim arcsin

2 + x 2

−

lim

1 + x 2 −1

x →11−4

x →0

Задание 3. Найти пределы:

lim

− x ;

lim

−

;

−1

2x +1

x →∞ x +1

x →∞

lim ( x 2 +6x +5 − x );

lim ( x 2 +5x − x );

x →+∞

x →±∞

lim arctg(

x 2 + 2x − x );

lim

ln(x 2 −1)−ln(x 2 +1);

x →∞

x →+∞

e2x +3

311

7. lim arccos(x (	x 2 +1 − x ));	8. lim (sin x +1 −sin x ).
x →+∞		x →+∞

Задание 4. Найти пределы, используя замечательные пределы:

lim

2arctg(2x −1);

lim 1−

cos x

;

1−2x

x →0

x →

lim

1−cos x

;

lim 1−cos2 x

;

x →0

x →0 1+ x 2 −1

lim

1− x 2

;

lim

cos 2x −cos3x

;

x →1 sinπx

x →0

x 2

lim

arctg(x + 4)

;

lim

1−

;

x 2 +5x + 4

x →−4

x →1

cos

2 x

lim

x 2 −2 −

;

10. lim

tgx −sin x

x →2

sin 2 (x −2)

x →0

x 3

Задание 5. Найти пределы, используя замечательные пределы:

x 2 +1 − x 2 +7

lim(1+tg

x )2x ;

lim 1

;

x →0

x →∞

− x 2

x −2

;

4. lim(cos x )x

;

lim

−3

x →2 x

x →0

3x −1

3x 2

x 2 +1

x 4 +1

lim

;

lim

x →∞ x +1

6 + 5x

x →∞

Задание 6. Найти пределы, используя замечательные пределы:

lim ex −1 −1;

lim

esin 2x −esin x

;

x →1

x −1

x →0

lim

ex 2 + x 2 sin x −1

;

lim ex −

1+3x ;

x →0

x 2

x →0

1+ex −

−1

x 3

lim

;

lim arctg

x →0

312

Лабораторная работа №2

Числовые ряды

I. Даны ряды геометрических прогрессий. Определить первый член и знаменатель каждой из них, вычислить сумму ряда, если он сходится:

∞

1) ∑

;

2) ∑(−1)n

;

3) ∑

;

n=1

∞

n+1

∞

4) ∑(−1)

;

5) ∑(−1)

;

6) ∑(−1)

n=1

II. Даны числовые ряды. Вычислить три первых члена каждого из них. Исследовать ряды на сходимость, используя необходимые и достаточные признаки.

∞

5n n−1;

∞

1) ∑

2) ∑

;

3) ∑

;

n + 4

n2n

n=1

∞

2003

∞

(n +1)!

∞

πn + 2

4) ∑

;

5) ∑

;

6) ∑

sin

;

2003n +1

n=1

∞

n 3n −1

∞

7) ∑ (−1)

;

8) ∑

(−

;

9) ∑

(−1)

;

3n + 2

n=1

2n +3

∞

n+1 2n +100

∞

(−1)n+1

10) ∑

(−1)

;

11) ∑

;

+ 4

12) ∑

n=1

313

	Лабораторная работа №3
	Производная
Задание I. Найти производные следующих функций:
1. y = x 3 −3x 2 +3x + 4;	2. S =	1	+	1	+1 −1;
				2t 2
		4t 4			t

3. y = x 4 + 2tg x; 6

5. y = x1 −log3 x +ln 2;

7. y = 2 +3 x −cos x;

10. y = x3 ex ;

13. y =10x (1+sin x );

16. y = x 2 3x tg x;

19.	y =	ex		;
19.	y =	x 3 +1		;
		x 3 +1
22.	y =	4 x −4			;
		4 x	+	4

y =

−4arctg x ;

2x 2

6. y = 3 3 x −6 6 x −2x − 2 ;

8. y = 6

− arcsin x ;

9. y =

;

x 2

11.

y = 2x ctg x;

12.

y = (x 2 + 2) log2 x;

14.

y = 3

x (ln x −ex );

15.

x = t cost +sin t;

17.

y =

sin x

;

18.

y =

x −5

;

x 2

x +5

20.

y =

2 +cos x

;

21.

y =

arctgx

;

2 −cos x

x 2 +1

23.

y =

x 3 e x

;

24.

y =

x sin x

;

x 2 + 2

x +sin x

Задание II. Найти значения производных заданных функций в указанных точках.

S = 2(t +cost ), t0 = 0;

2. y = 3x − ln x ,

x 0 =1;

y = x (2x −3x ), x 0 = 0;

y = x 4 tg x , x 0

= π

;

y =

x 3 + 2x 2 −1

, x 0 = −2;

y =

x 2 + 4

, x 0 = 4.

3 − x

Задание III. Найти производные следующих функций:

y = (x 2 +1) ;

2. y = 4 −2x 4 ;

y = 3 1−3x ;

y =

;

(4x +1)3

y =

;

6. y = cos8x;

y = sin 4 x;

8. x = arcsint 2 ;

5 2 − x 5

y =

;

10. y = arctg(4 −3x );

11. y = ln cos x;

12. S = 4 sin t ;

ctg x

314

13. y = e8x −1;

14. y = log2 (x 2 +9);

15. y = sin5 (2 −x 2 );

16. y = 3 cos e−

17. y =

2x 2 −1 ;

18. y = arctg

1+e2x ;

;

ln x

19.

arccos

x ;

20. y = ln arcsin ctg 2

y = (5 − x 3 )

−2x .

21.

22. y =

sin

tg (5+4x )

y = ln sin 3x −

2 −sin

x ;

;

Задание IV. Найти производные заданных функций в указанных

точках.

y = 4 sin

x 0 =π;

y = 3 10 −3x ,

x 0 = 2;

y = cos5 x ,

x 0

π ;

y = 4 ln tg

x 0

;

πx

x +1 ,

y = 4 e

sin

x 0 =1;

y =

x 0 = 2.

x −1

Задание V. Найти производные второго порядка следующих функций:

1. y = arctg x;

y = 4 ex 3 ;

y = 3

x 3 +1;

y = sin 2 (2x −3);

5. x = ln sin t ;

y = x 2 cos x;

y =

e2x

;

y =

x 3

2(x +1)2

Задание VI.

1. Найти уравнение касательной, проведенной к графику функции y = x5+x4 в точке (1; 1).

2. В каких точках графика функции	y = x e	−	x2	касательные к нему
			2

параллельны оси Ox ?

3. Составить уравнение касательной к кривой y = x3 + 3x2 + 8 в точке ее пересечения с параболой y = 3x2 .

315

4. Функция задана параметрически уравнениями: x = cos3 t, y = sin3 t.

Составить уравнение касательной, проведенной к графику этой функции в

точке, для которой t = π .
		6
5.	Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону
S = 2et + 3e−t , где S - путь в метрах, t -				время в секундах. Найти скорость и
ускорение движения в момент времени t = 2c.
6.	Тело,	брошенное вертикально вверх				с	начальной	скоростью
v0 , движется по		закону S(t)= v0t −	gt 2		( S - путь	в	метрах,	t - время в
v0 , движется по		закону S(t)= v0t −			( S - путь	в	метрах,	t - время в
		2

секундах). Через сколько секунд после начала движения скорость тела будет

равна 50	м	, если v0		=100	м	?	(принять g =10	м	).
	с				с
								с2
7.	Сила		тока	I изменяется в зависимости от времени по закону
I = 3t 2 + 2t		( I -	в амперах,			t -	в секундах). Найти скорость изменения силы
тока в конце второй секунды.

Задание VII. Применяется правило Лопиталя, вычислить пределы:

1.lim x 2 −1;

x→1 ln x

4.	lim	e3x			;
4.	lim			1	;
	x →+∞ x +			1
7.	lim	π				tg 2x;
7.	lim	4	− x			tg 2x;
	x →π	4
	4

10. lim(ex + x )4 ;

x →0

2.	lim	3x − 2x			;

	x →0		x 2
5.	lim		ctg x			;
			ln(x −π )
	x →π
8.			1			1
	lim			−			;


	x →4 x −4 ln(x −3)

11.lim(tg 2 x )sin x ;

x →0

3. lim	ex −e−x −2x	;
	x 3 (x −2)
x →0

6.lim (x 2 +1) 5−x ;

x→+∞

9.			1		2
	lim			−
						2
		1	−cos x		sin			;
	x →0						x

12. lim(cos 2x )x 2 .

x →0

316

Лабораторная работа №4

Неопределенный интеграл

1. Непосредственным интегрированием вычислить интегралы

		2					5	t	+t
x			+	x + 4		б) ∫	5		+t	dt;
а) ∫	3		+	x + 4	dx;	б) ∫			5	dt;
	3								5

cos2 x

в)

∫

dt;

г) ∫(2x +1)

dx;

1−sin x

д)

∫

;

е)

∫1001−lg

x dx;

3 − x

ж) ∫tg 2 x dx;

з) ∫

dx ;

−9

1 2

к) ∫

x 2

и) ∫ 3 x − 3

dx ;

dx .

+ 7

2. Вычислить интегралы, применяя метод замены переменной

∫

2 ln 2 x + 3

∫cos x

а)

dx ;

б)

sin x dx;

в) ∫y 3y 2 +1 dy ;

г) ∫

tg ϕ +1

dϕ;

cos

д)

∫

;

е)

∫ ex ex

−1 dx .

sin 2 (1−3x )

3. Методом интегрирования по частям вычислить интегралы

а)

∫x2e−x dx;

б) ∫x ln 2 x dx;

в)

∫e−x cos x dx ;

г) ∫x arctg x dx .

4. Вычислить интегралы от рациональных функций

а) ∫

б) ∫

2x +3

в)

∫

г) ∫

x 5dx

;

dx ;

;

(x −1)(x + 2)

(x + 2)3

x 4 + x 2

x 3 +1

5. Вычислить интегралы

а)

∫ctg x dx;

б)

∫cos 5 x dx ;

в) ∫cos 2 3x dx ;

г)

д)

∫cos2 x +sin 4

x dx;

е) ∫

x dx

;

ж) ∫x

4 − x 2 dx;

з)

−

∫ 5 −3dxcos x ;

∫	x 2dx
	(3 + x 2 )5 .

317

Лабораторная работа №5

Определенный интеграл

1. Вычислить интегралы:

а) ∫4

x − 3 2x dx;

б)

−∫1

t 4 −

dt;

в)

;

г)

x dx

dx;

∫π

1 + cos 2x

∫1 5 1

− x 4

0 1 +t

−

д)

∫e

ln x dx;

е)

∫0 sin 3 x dx;

ж) ∫e ln(x +1)dx;

з)

∫2 x cos(4x )dx .

− 2

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y = x 2 − 2x +3,

y = 3x −1;

б) астроидой: x = a cos3 t ,

y = asin 3 t ;

в) лемнискатой ρ2

= a2 cos 2ϕ .

3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной

линиями:

а)

y = sin x

(0 ≤ x ≤ π ),

y = 0 , вокруг оси Ox ;

б)

− y 2 = 4,

y = ±2 , вокруг оси Oy.

4. Вычислить длину дуги кривой:

а)

y =

от вершины до точки (3

2 3). ;

б) всей астроиды x = a cos3 t,

y = a sin 3 t ;

в) первого витка архимедовой спирали ρ = aϕ .

5. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси

Ox дуги кривой	y =	x 3	от x = −2 до x = 2 .

	3

6. Скорость нагревания тела зависит от времени по следующему закону: v = 0,03t + 0,1, где t - время (с), v - скорость (К/c). На сколько градусов на-

греется тело в течение первой минуты?

318

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3632 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.04.20192 Мб63Leblanc_Lupin_M.doc
#
01.07.2025175 Кб3Lektsia мат..docx
#
20.04.2019155 Кб84Lektsii_po_gos_upravleniyu_i_politike.docx
#
20.09.2019390 Кб299lexicologie.doc
#
10.02.20154 Мб705Lysikova_O_V_Muzei_mira_Uchebnoe_posobie_-_M.pdf
#
10.02.20153 Мб176mat_analiz.pdf
#
25.09.20191 Мб59mat_logika.doc
#
10.02.2015119 Кб9metod_ukaz_2013.docx
#
10.02.201562 Кб10metod_ukazania_po_kursovoy.doc
#
01.04.2025104 Кб3Metodi4eskie_rekomendacii.doc
#
23.08.201959 Кб10metodich_ukaz_k_kurs_rabotam_osn_biznesa.docx