Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mat_analiz

.pdf

Скачиваний:

176

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3633 34 35 36 > Следующая >>>

Индивидуальная работа №1 Пределы.

Указание. Перед выполнением заданий параметры a и b , входящие в условия задач, следует заменить их числовыми значениями, которые определяют по номеру N варианта индивидуального задания . Значение параметра a равно числу десятков номера N, а значение параметра b равно числу единиц номера N. Например, если N=23, то a = 2 и b = 3; если N=10, то a =1 и

b = 0 ; если N=3, то a = 0 и b = 3.

Задание 1. Найти пределы (раскрыть неопределенности типа

∞ ):

∞

а)

lim

(a +1)x b+3 + bx b+2 +1

;

+ 3)x b+3 + (a +1)b + a

x →∞

б)

lim

ax b+4 + x b+3 + 2

;

+ 4)x b+2 + ax b

x →∞

в)

lim

(a + 5)x a+1 + bx a + 3

x →∞

+1)x a+b+2 + bx + a + b

Задание 2. Найти пределы (раскрыть неопределенности типа

0 ):

а)

lim

x 2 −(a +1)2

;

2 +(b −a +1)x −(ab +

2a +b + 2)

x →a+1 x

б)

lim

x −a −1

;

a +1 − 2a +2 −x

x →a+1

в)

lim

3 1 + (b +1)x −1

(2 + a)x 2 + x

x →0

Задание 3. Найти пределы (раскрыть неопределенности типа ∞ − ∞):

а) lim		1				a +b +1
		1				a +b +1
			−2		2	2	;
x →a+b+1	x −a −b −1			x		−(a +b +1)

б)		x	3			x	2
	lim	x			−	x		;
	lim				−	(b +1)x −1		;
	x →∞ (a + 2)x 2			+1		(b +1)x −1
в) lim (3		x 3 +(a +1)−3 x 3 −b −1);
	x →∞					+b − x 2 ).
г)	lim (	x 4 +(a +1)x 2				+b − x 2 ).
	x →∞

319

Задание 4. Найти пределы, используя первый замечательный предел и его следствия:

а)

lim

(a +3)sin 7x

;

б)

lim

4tg(a +1)x

;

sin x

x →0

sin 2x

в)

lim

(b +3)sin x

;

г)

lim

sin(x −a −3)

;

x →0

x + ax 2

x →a+3 (b +1)(x 2 −(a +3)2 )

д)

lim arcsin (b −a +1)x ;

е)

lim 1−cos(a + 2)x .

x →0

x 3 + x

x →0

(b +1)x 2

Задание 5. Найти пределы, используя второй замечательный предел:

а)

2x +1

(a+1)x 2

б)

x 2

+1 x 2 +bx +1

lim

;

lim

;

x →∞ x −1

x →∞

+ b

г)

lim (1 + x )

a+3

;

д)

lim (1+ln x )

b+1

;

ln x

x →0

x →1

			a +1		x
в)					b+2
	lim 1+					;
			x
	x →∞
		4x +1		(a+b+1)x
е)	lim					.
		4x −1
	x →∞

Задание 6. Найти пределы, ного предела:

а)	lim	ln(1+(a + 4)x )			;
			(b +3)x
	x →0
в)	lim		ln(1+sin x )		;

	x →0 x + ax 2 + bx 3
д)	lim		e(a+1)x −1	.

	x →0		3(1 + b)x

используя следствия второго замечатель-

б)	lim	ln(1+ x )	;
		x +(b + a)x
	x →0 2
г)	lim	e x −a−2 −1			;
		(b +1)(x − a −		2)
	x →a+2

320

Индивидуальная работа №2

В заданиях I-III параметры a и b определяются по номеру N варианта, а именно, значение параметра а равно числу десятков номера N, а значение параметра b равно числу единиц номера N.

Задание I. Найти производные следующих функций:

y =

5 x b+5 −3x b+3 + 2x a+b −(a + b) x

;

x 3

y =

a +b +1 4 x b+2

− a +b +1;

3 x b+1

y = (2 x b+1 −eb+1 ) ((b + 2)x +logb+2 x );

y =

(a +b +1) sin x + x a+b+1

;

a +b ex

y =

x a+2 arctgx

(b + 3)x

+ arcsin x

, x 0 = 0 .

a + b + 2

(a + b + 2) cos x

Задание II. Найти производные следующих функций:

y = (a +b +1) earctg

x 2

y = ((b + 2) x b+2 −(b +3) x b+3 +(a +b + 2)2 )a+b+2 ;

;

a+b+1

y = ln x 3 +(b +1) x + a +1, x 0 = 0;

4. y = (x + a +b)3 cos2 ((b +1) x + a) ;

y = (b −4)2 +arcsin2 (b +1− x ) , x 0 = b +1;

y = sin a+b ln 3 (b + 2)x + a.

a +1+ 2 eb+1−x

Задание III. Используя правило Лопиталя, найти пределы:

lim

ln(x 2 −b2 +1)

;

x →b x 2 +(5 −b)x −5b

lim

((a + b)2 − x 2 )

ctg

πx

;

a + b

x →(a+b)

2(a+b)

;

lim(cos x )

x 2

x →0

x tg

a+b

lim sin

x →0

+ b

lim

(5 − a)2 + x a+2 + x b+1

;

(b + 2) ln x

x →+∞

3(b + 2)

lim

−

;

− (b + 2)

−

(b + 2)

x →(b+2) x

lim ((a + 2) + (b + 2)x )

a+4

;

x →+∞

321

Индивидуальная работа №3

Задание I. Найти асимптоты следующих кривых:

а) у =	b +1	;
	х+ а +b +1
б) у =	(b +1)х	;
	х+ а + b +1

в) у =	(b +1)х2	.
	1 + a +b + х

Задание II. Найти промежутки монотонности и экстремумы следующих
функций:
а) у = х3 −(b − 2a)х2 −bх + a ;

б) у = х4 + (b − 2a)х2 −bx + a ;

в) у = (b + 2a)x ln х.

Задание III. Найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций на указанных отрезках:


а)	у = х4 −(b − 2a)х2 −bx − a на [− 2;3];
б)	у =	х+ 2b − a	на [0;5];
б)	у =		на [0;5];
		х− 2а + b
в)	у =	b +1				на [-1;2].
в)	у =	а +b +1 + х2				на [-1;2].
		а +b +1 + х2
Задание IV. Исследовать следующие функции и построить их графики:
а)	у =	а + b		;
а)	у =	(2а + b)2 − х2		;
б)	у =	(a + b)х				;
б)	у =	х2 −(2а+ b)2				;
		х2 −(2а+ b)2
в)	у =	(a +b)х2			.
в)	у =	х2 −(2а+ b)2			.
		х2 −(2а+ b)2

322

Индивидуальная работа №4 Неопределенный интеграл

Задание I. Вычислить интегралы:

∫

x +1

dx ;

∫

(x +1)(1 + x )

dx ;

∫

5 x

2 x

dx ;

−x

∫e

1 +

dx ;

∫sin

dx ;

∫

− cos 2x

;

∫

;

∫sin

cos

dx ;

∫

dx ;

1 + tg

+ 2x

10.

∫

dx ;

11.

∫

dx ;

12.

∫

dx ;

+ 2x

+ x

− x

13.

dx ;

14.

(

;

15.

∫

x + 3 x )

∫

dx .

− x2

Задание II. Применяя метод замены переменной или подведение под

знак дифференциала, вычислить интегралы:

∫x x2 − 4 dx ;

∫

dx ;

∫

dx ;

1 − x

+1)

∫

6x2

dx ;

∫

sin x

dx ;

∫

;

cos

x (1 + x)

x + 4

∫

;

∫

2 dx

;

∫

3e x

2 x

dx ;

cos

1 − ln

1 − e

10.

∫

7e x

dx ;

11.

∫

8 dx

;

12. ∫

7 dx

;

sin 2 e x

cos2 x

(tg 2 x − 4)

(1 + x2 )arctgx

13.

∫

3 arcsin10 x

dx ;

14.

∫

sin 3x

dx ;

15.

∫

dx .

1 − x

cos

1 − 25

Задание III. Методом интегрирования по частям вычислить интегралы:

∫x sin xdx ;

∫x ln xdx ;

∫arctg

xdx ;

∫xe x dx ;

∫(x2

+1)e x dx ;

∫(3x − 2)e5 x dx ;

∫(9x + 2) cos 2xdx ;

∫x cos2 xdx ;

∫arctg 2 xdx ;

10.

∫e2 x sin 3xdx ;

11.

∫arcsin x dx ;

12. ∫(x2

+ 6x) sin(x + 3) dx ;

x +1

323

13.

∫(3x 2 − 2x ) cos(1 −3x )dx ; 14.

∫e2 x sin 3xdx ;

15.

∫(x2 + 4x)e3 x dx .

ЗаданиеIV. Вычислитьинтегралыотрациональныхфункций:

∫

x −1

dx ;

∫

2x2 + 41x −91

dx ;

+ x −

−1)(x + 3)(x −

∫

dx ;

∫

−16x −8

dx ;

− 4x +

− 4x

∫

x2 + 4x +14

dx ;

∫

2x −5

dx ;

+1)(x − 2)

x(x −1)

10.

∫

dx ;

11.

∫

2x2

−15x +30

dx ;

+ x

− 2x

(x + 6)(x − 2)

13.

∫

dx ;

14.

∫

x2 + x +13

dx ;

+ x

−1)(x

Задание V. Вычислить интегралы:

∫sin

cos xdx ;

∫sin 2 4xdx ;

∫sin 3 x cos3 xdx ;

∫

sin 3 x

dx ;

1 + cos

∫

sin 3 x +sin x

dx ;

∫

cos3 x

dx ;

cos 2x

2 +sin

10.

∫

dx ;

sin

− 4 sin x cos x + 5 cos

12.

∫

dx ;

13.

∫ctg 3 xdx ;

4 sin x + 3cos x + 5

15.∫coscosx x−1dx .

3.∫ x2 −5x + 9dx ;

x2 −5x + 6

6.∫ x(x 1+1)2 dx ;

9.∫x 2 − 3x + 4dx ;

x3 + 4x 2

12.∫ x4 −1 x2 dx ;

15.	∫		x −8		dx .
		x	3	+ 4x

3.∫sin 3 x cos5 xdx ;

6.	∫	sin	3	x	dx ;

		cos	4
				x

9.∫cos 2x cos 3xdx ;

11.∫1 + sin1 xdx ;

14.	∫	sin	4	x	dx ;

		cos	6
				x

324

Индивидуальная работа №5 Определенный интеграл

1.Вычислить методом подстановки:

																π
1.	∫1				e x						dx ;			2.		∫2	esin x cos xdx ;										3.				∫2				1			dx ;
1.	∫1							2 x			dx ;			2.		∫2	esin x cos xdx ;										3.				∫2	x + x					3	dx ;
	0	1 + e													0																1	x + x
	6	3			x5										ln 3					e x											e	1 + ln x
4.	∫									dx ;				5.		∫								dx ;			6.				∫								dx ;
4.	∫			x	6					dx ;				5.		∫		e		x				dx ;			6.				∫				x				dx ;
	0			x		+1									ln 2			e			+1										1				x
5																															3
7. ∫7			x5 4						dx ;					8.		∫5 x2						25 − x2 dx ;					9.				∫5			x2						dx ;
7. ∫7			x5 4						dx ;					8.		∫5 x2						25 − x2 dx ;					9.				∫5		x	6			25			dx ;
0	x				+ 7										−5																0		x		+		25
	π
10.	4						(2x)dx ;							11.	4			x2 − 4							dx ;		12.				9				x			dx ;
	4					7										∫		x2 − 4													∫				x
	∫sin															∫				x		4									∫
	0														2					x											4			x −1
																2
13.	1					x		2					dx ;	14.	2					1 + x dx ;							15.				ln 5		e		x	xe		x		−1dx .
	∫					x										∫															∫		e
	∫		(1 + x						2	)		2				∫															∫				e
	0		(1 + x							)					0					1 − x											0				e		+3
	2. Вычислить методом интегрирования по частям:
1.	1															e	ln			2	x						1
	∫arctgxdx ;													2.	∫		ln				x		dx ;			3.	∫xe−5 x dx ;
	∫arctgxdx ;													2.	∫				x				dx ;			3.	∫xe−5 x dx ;
	0														1				x								0
	1														1												2	e	1
	1														1												2		x
4.	∫x3e2 x dx ;													5.	∫x3ex2 dx ;											6.	∫			dx ;
4.	∫x3e2 x dx ;													5.	∫x3ex2 dx ;											6.	∫		2	dx ;
	0														0												1 x
	∫1														1												π
7.	∫1		x ln(1 + x)dx ;											8.	∫ln(1 + x 2 )dx ;											9.	∫x cos xdx ;
	0														0												0
	π
	2				x										1												2
10.	∫				x					dx ;				11.		∫arcsin xdx ;										12.	∫x ln(x				2	+1)dx ;
10.	∫		sin			2		x		dx ;				11.		∫arcsin xdx ;										12.	∫x ln(x					+1)dx ;
	π		sin					x							0												0
	6
	π																										π
	3																										π
13.	3													14.		∫xarctgxdx ;										15.	∫cos ln xdx .
13.	∫π cosxsin2 xx dx ;													14.		∫xarctgxdx ;										15.	∫cos ln xdx .
															1												e 2
	− 3														−1												1
	− 3
	3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
1.	y =1 − ex ; x = 2 ; y = 0 ;																								2. y = x 2 ; y = 3 − x ;

325

3.	y 2 = x +1; y 2 = 9 − x ;			4.	y = arcsin x ; y =			π ;	y = −π ; x = 0 ;
								2			2
5.	y = x 2 ; y = 2 − x 2 ;			6.	y = x 2 − 6x +10 ; y = 6x − x 2 ; x = −1;
7.	x − y + 2 = 0 ; y = 0 ; x = −1; x = 2 ;			8.	y = −x 2 + 4 ; y = 0 ;
9.	y 2 = x ; y = 0 ; x =1; x = 4 ;			10.		xy = 6 ;	y = 0 ;	x =1;		x = 3 ;
11. y = 3sin x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π ;				12.		y = tgx ;	x = 0 ;	x =	π	;	y = 0 ;
									3
13. y =		1	x 3 ; y = 0 ; x = 2 ; x = 3 ;	14. y = 2−x ;			y = 0 ;	x = −1;			x =1;
13. y =			x 3 ; y = 0 ; x = 2 ; x = 3 ;	14. y = 2−x ;			y = 0 ;	x = −1;			x =1;
	3

15.y = 0 ; x = 0 ; x = 2 ; y = 5−x .

4.Фигура, ограниченная заданными линиями, вращается вокруг оси Oх. Найти объем полученного тела вращения:

1.		y 2 = 4x ; y = 0 ; y = 4 ;	2.	y 2	= x ; y = 0 ; x =1; x = 2 ;
3.	y 2	= 2x ; y = 0 ; x = 2 ; x = 4 ;	4.	y 2	= 2(x + 2); y = 0 ; x = 0 ;
5.	y 2	= 4(x − 2); y = 0 ; x = 3 ; x = 6 ;	6.	y = x 2 −9 ; y = 0 ;
7.	x + 2y − 4 = 0 ; y = 0 ; x = 0 ;		8.	x 2 + y 2 = 4 ; y = 0 ;

9. x − 2y + 6 = 0 ; y = 0 ; x = 0 ;					10.	2x −3y − 6 = 0		;	y = 0 ;	x = 3 ; x = 9 ;
11. y 2 = 4x ; x 2 = 4y ;					12.	y 3 = x 2 ;	y =1	;
13. y =	1	; x = 3	; x =	4 ;	14.	y = e x ;	y = 0 ;		x = 0 ;	x =1;
	x 2 +1	4		3
15. y = sin −1 x ;		x = π	; x =	π .
		4		2

5.Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением:

1.2y = x 2 −1 между точками пересечения с осью Oх;

2.y = 2 x; 0 ≤ x ≤1 ;

3.	y = ln(sin x ) от x = π				до x = π	;
				3	2
4.	y =1 − ln(cos x )			от x = 0 до x =		π	;
						6
5.	x =	t 3	, y = t 2	+ 2 от t = 0 до t = 3;
5.	x =	3 −t	, y = t 2	+ 2 от t = 0 до t = 3;
		3 −t

326

6.x = 3cos t , y = 2sin t ;

7. x = 8sin t + 6 cos t , y = 6 sin t −8 cost от t = 0 до t = lnπ ;

8.x = 9(t −sin t ), y = 9(1 − cos t ) (длину дуги одной арки циклоиды);

9.ρ = 5(1 + cosϕ);

10.ρ = 2(1 + sin ϕ);

11.	ρ = sin 3	ϕ		, 0	≤ ϕ ≤	π	;
			3			2

12.ρ = 4 cosϕ ;

13.ρ = 5sin ϕ ;

14.x = 2(cos t +t sin t ), y = 2(sin t −t cos t ), 0 ≤ t ≤ π ;

15. x =	t 6	,	y = 2 −	t 4	между точками ее пересечения с осями координат.

6			4

327

Индивидуальная работа №6

Задание1.Уравнения с разделяющимися переменными.

Найти общие решения уравнений:

1. x 2 dy + y 2 dx = 0 ;

2. xy y′ =1 − x 2 ;

3. (xy 2 + x )dx + (x 2 y − y )dy = 0 ;

y′

+sin x = 0 ;

5. dr − rctgϕdϕ = 0 ;

y′ = y 2 cos x ;

7. (1 + e x )yy′ = e x ;

8. 1 − x 2 y′+ xy = 0 ;

9. y sin xdx + cos xdy = 0 ;

10. (1 + x )dy = 2ydx ;

11. xydx + (x +1)dy = 0 ;

12. x ln xdt −t 2 dx = 0 ;

t sin t

′

13. dt

= cos2 x ;

14. y

= xy − 4 − x + 4y

;

15.

= tx 2 −8 + 2t − 4x 2 .

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным

начальным условиям:

16. 2y

′

x = y

y(4)=1;

′

= y

;

17. y tgx

18. xy′ =

y(e)=1;

19. (x

+ 4)y′−2xy = 0

y(1)= 5 ;

ln x

20. y

′

x 2 +1

y(0)=1;

21. yarctgxdx +

1+ y

dy = 0

y(0)= 3 ;

y 3 −3

x +1

22.ϕ2

+ 2ϕ −2tϕ′ =1

ϕ(1)= 0 ;

23. y′+ ytgx = 0

y(0)=1 ;

′

−6)= 2xy

y(0)= −

;

25. x

′

= 2

x ln t

x(e)=1 ;

24. y (x

26. y′ = (2 y +1)ctgx

;

27. x

y′+ y

y(−1)=1;

= 0

28. ydx + ctgxdy = 0

= −1 ;

29. 2(1+e

)yy′ = e

y(0)= 0 ;

30. (1+ x 2 )y 3 dx −(y 2

−1)x 3 dy = 0

y(1)= −1.

328

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3633 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.04.20192 Мб63Leblanc_Lupin_M.doc
#
01.07.2025175 Кб3Lektsia мат..docx
#
20.04.2019155 Кб84Lektsii_po_gos_upravleniyu_i_politike.docx
#
20.09.2019390 Кб299lexicologie.doc
#
10.02.20154 Мб705Lysikova_O_V_Muzei_mira_Uchebnoe_posobie_-_M.pdf
#
10.02.20153 Мб176mat_analiz.pdf
#
25.09.20191 Мб59mat_logika.doc
#
10.02.2015119 Кб9metod_ukaz_2013.docx
#
10.02.201562 Кб10metod_ukazania_po_kursovoy.doc
#
01.04.2025104 Кб3Metodi4eskie_rekomendacii.doc
#
23.08.201959 Кб10metodich_ukaz_k_kurs_rabotam_osn_biznesa.docx