Физическая интерпретация

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением

где  — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а  — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

В качестве интуитивного образа, как это описано выше, здесь можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.

Основные свойства Свойства, непосредственно получаемые из обычных правил дифференцирования

• Линейность:

для любых векторных полей F и G и для любых постоянных чисел a и b.

• Если  — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

или

• Дивергенция ротора равна нулю:

 или 

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно вихрь некоторого поля G (векторного потенциала):

• Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

для некоторого скалярного поля (то есть найдется такое , что F будет его градиентом).

• (Следствие из свойств выше): два (и сколько угодно) различных векторных поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле, то есть на градиент некоторого скалярного поля.

• Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан:

Теорема Стокса

Циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

Частный случай теоремы Стокса для плоской поверхности - содержание теоремы Грина.

Альтернативные определения

Все определения ротора, о которых будет говориться в данном параграфе полностью эквивалентны (по крайней мере для случая дифференцируемого векторного поля), и в качестве основного, в принципе, можно выбрать любое из них. Остальные тогда оказываются формулами, которые могут быть более удобны в том или ином случае.

Прежде всего, перечислим явно те варианты, которые уже упоминались в статье выше и могут при желании каждое играть роль определения ротора.

• Классическое определение, приведённое в данной статье как основное (см.Математическое определение).

• Вычислительная формула через производные компонент в декартовых координатах, приведённая там же.

• Формула в параграфе Физическая интерпретация.

Кроме них полезно упомянуть:

• Выражение через символ Леви-Чивиты, дающее наиболее компактную координатную запись, а во втором варианте - общую формулу для любых криволинейных координат (ограничиваясь^[6], правда, только размерностью 3):

  • В варианте для ортонормированного базиса (обычных декартовых координат):

• В тензорной записи для произвольных (в том числе косоугольных и криволинейных координат; используя верхние и нижние индексы и правило суммирования Эйнштейна):

где - метрический тензор в представлении с верхними индексами. В последнем случае (общем) важно упомянуть, что под значком имеется в виду именно тензор, включая множитель 

• Интересную и довольно красивую форму определения, иногда используемую в литературе: