Три общих примера

Основная статья: Формулы векторного анализа

Рассмотрим пример ∇ × [ v × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что

Если v и ∇ поменять местами:

что является фейнмановской записью с нижним индексом ∇_F, что значит, что градиент с индексомF относится только к F.

Другой пример ∇ × [ ∇ × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:

что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v → ∇.

[Править]Поясняющие примеры

• В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор (где-то) в центральной области. (см. Вихревое движение).

• Для векторного поля v скоростей движения точек вращающегося твёрдого (абсолютно твёрдого) тела, rot v одинаков всюду по объёму этого тела и равен (вектору) удвоенной угловой скорости вращения (подробнее - см. выше).

• Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.

• Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, просто записывается (в дифференциальной форме) через ротор: ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля (со временем), взятой с обратным знаком.

• Четвёртое уравнение Максвелла - закон Ампера - Максвелла также записывается в дифференциальной форме с использованием ротора: ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.^[8]

Важный контринтуитивный пример

Довольно важно иметь в виду, что в принципе (хотя и далеко не всегда) направление ротора может не соответствовать направлению вращения поля (будем говорить для конкретности о поле скоростей жидкости), которое кажется очевидным по направлению искривления линий тока. Он может даже иметь противоположное направление (а в частном случае ротор может оказаться равным нулю, хотя линии тока загибаются или даже представляют собой точные окружности).

Дело в том, что ротор может быть представлен как сумма двух слагаемых, одно из которых завивит от кривизны линий тока, а второе от завивимости скорости течения от перпендикулярной (в данной точке) скорости течения координаты.

Рассмотрим частный, но хорошо иллюстрирующий сказанное пример. Пусть поле скорости течения жидкости v таково, что на любом фиксированном расстоянии r от некоторого фиксированного центра (поместим туда для удобства и начало координат) - жидкость течет точно по окружности с центром в начале координат и радиусом r (будем для краткости говорить в двумерных терминах; для перехода к трехмерной формулировке этого примера надо заменить слово "центр" на слово "ось").

Пусть скорость движения по каждой такой окружности (равная абсолютной величине вектора v) зависит только от r :

Пусть направление вращения - против часовой стрелки (угловая скорость - вдоль оси z).

Нам будет досаточно вычислить ротор только вдоль оси x. Для этого выразим v (его компоненты) через координаты вблизи оси x.

(Учитывая то, что вблизи оси x можем считать, что координата y << x, а при дифференцировании нам нужен будет только первый порядок, мы отбросили всё, меньшее y/x, и воспользовались тем, что вследствии этого x≈r).

Вычислим теперь прямо компоненту ротора на ось z:

что даст, если подставить сюда приведённые выше,

Отсюда видно, что

• Если v(r) ~ 1/r, то rot v = 0.

• Eсли v(r) убывает с r быстрее, чем 1/r, то проекция ротора на ось z отрицательна! (это и есть контринтуитивный пример).

Таким образом, мы видим, что в принципе просто из того, куда закручены линии тока не очевидно, куда направлен ротор такого течения. То есть не очевидно, в какую сторону будут вращаться пылинки в таком потоке. Зато достаточно ясно, что если где-то есть очень резкое убывание v(r), то направление ротора в этом месте будет направоено против того, которое соответствует направлению закручивания линий тока.

Этот частный пример означает, что и в общем случае однозначной связи между направлением закручивания линий поля и направлением вектора его ротора - нет.

Необходимо однако сделать две оговорки:

1_всё сказанное не означает, что однозначной связи между направлением закручивания линий поля и направлением вектора ротора этого поля не может быть для каких-то конкретных полей (подчиняющихся определённым уравнениям) и даже, быть может, для большинства практически важных полей в простых ситуациях. Однако если такая связь для каких-то (и даже для многих) полей имеет место, то

1)во-первых, это есть следствие не определения ротора, а других уравнений (которые могут быть справедливы для какого-то конкретного поля и какой-то конкретной ситуации, а могут - для других полей ситуаций - и не быть),

2)во-вторых, даже если эти другие уравнения в простейшем случае дадут такую связь, то при усложнении ситуации она может пропасть. Например, при переходе от случая однородной среды к неоднородной; так, даже если для однородной жидкости в бесконечном свободном пространстве такая связь имела бы место, то для вращения жидкости в неподвижном сосуде, скажем круглом стакане, очевидно вблизи стенок ротор будет противоположен направлению вращения жидкости в целом.

3)исходя из теоремы Стокса можно утверждать, что если (например) жидкость вращается по окружности, то где-то внутри этой окружности есть точки, в которых ротор имеет знак (направление), совпадающий с направлением циркуляции жидкости. В нашем примере быстроубывающего v(r), рассмотренном выше в этой главе, такая область находится вблизи центра (в предельном случае - в самом центре ротор даже становится бесконечным). Однако мы утверждаем (как это и видно из примера), что это совпадение не обязано существовать ни вблизи данной точки, ни даже везде внутри окружности данного радиуса (а лишь где-то внутри неё, хотя интеграл по всей её внутренности и даст таки это совпадение, то есть "в среднем" - направление совпадает; однако в большинстве точек - может быть и