Тема 3. Основы векторной алгебры

Задача 7.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(2;1;0), B(3;-1;2), C(13;3;10), D(0;1;4). Требуется:

1) записать векторы ив системе орт и вычислить модули этих векторов;

2) определить величину угла между векторами и ;

3) определить проекцию вектора на вектор;

4) вычислить площадь грани ABC;

5) вычислить объем пирамиды ABCD.

Решение:

1. Произвольный вектор может быть представлен в системе ортследующей формулой:

(1)

где а_х, а_у, а_z — проекции вектора на координатные осиОх, Оу и Oz, a — единичные векторы, направле­ния которых совпадают с положительным направлением осейОх, Оу и Oz.

Если даны точки то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:

. (2)

Тогда (3)

Подставив в (3) координаты точек А и В, получим вектор:

Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим

.

_{Подставив в (3) координаты точек} А и D, находим вектор

.

Если вектор задан формулой (1), то его модуль вычисляется по формуле

. (4)

Применяя (4), получим модули найденных векторов:

2. Косинус угла между двумя векторами равен ска­лярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей:

Находим скалярное произведение векторов и по формуле:

.

Получаем

Модули этих векторов уже найдены: Следовательно,

3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора:

4. Площадь грани ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю векторного произведения векторов и . Вычислим векторное произведение по формуле:

.

Тогда значит,

5. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение

по формуле: .

Тогда

Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды ABCD: куб. ед.

Задача 8.

Вычислить длину вектора , если,,,.

Решение:

Скалярное произведение векторов можно обозначать двумя способами или.

Используем свойства скалярного произведения векторов:

1) , 2),

3) , 4).

Получим

Вычислим модуль вектора, используя свойство 4:

Задача 9.

Вычислить , если,,,,.

Решение:

Векторное произведение векторов можно обозначать двумя способами или.

Используем свойства векторного произведения векторов:

1) , 2),

3) , 4).

Получим .

Вычислим модуль векторного произведения .

Задача 10.

При каком значении векторыкомпланарны?

Решение:

Векторы компланарны их смешанное произведение равно 0. Смешанное произведение векторов вычисляется с помощью определителя, строки которого состоят из координат векторов. Поэтому

Вычислим определитель, получим -6-5-30+3=-41+3=0. Отсюда

Задача 11.

Даны векторы . Определить единичный векторпараллельный вектору

Решение:

Вычислим векторное произведение по формуле:

.

Тогда

Длина . Параллельный полученному вектору единичный вектор имеет вид .

Задача 12.

_{Даны точки} A(1,0,1), B(1,1,0), C(0,1,1), D(1,1,1). Исследовать линейную зависимость век торов

Решение:

_{Система векторов линейно независима, если из того, что} следует

_{Вычислим координаты векторов}

Тогда

Получим систему

_{Так как определитель системы} , то по правилу Крамера (см. тему 2) система имеет единственное решение

Значит, векторы линейно независимы.

Задача 13.

Разложить вектор по векторам .

Решение:

Разложение имеет вид Необходимо определить коэффициенты

Имеем .

Получаем систему Решая ее, получим

Значит, искомое разложение вид