Тема 6. Исследование поведения функции
Задача 17.
Исследовать
функцию
и
построить ее график.
Решение:
1. Функция терпит разрыв при х=2. При всех других значениях аргумента она непрерывна.
2.
Функция не является ни четной, ни
нечетной, так как
и
3.Исследуем
функцию на экстремум, используя второй
достаточный признак экстремума: если
в стационарной точке х0
вторая
производная отлична от нуля, то в этой
точке функция
имеет максимум при
и минимум при
Находим первую производную:
(1)
или
Как видно, первая производная равна нулю при х = 1 и х = 3 и не существует при х = 2. Так как при х = 2 заданная функция не существует, то эта точка не подлежит исследованию. Дифференцируя (1), находим вторую производную у":
Сократив
на
и
выполнив преобразования в числителе,
получим
(2)
Так
как
то
прих1
= 1 функция
имеет максимум. Так как
то
прих2
= 3
функция имеет минимум.
Вычислим значения функции в точках экстремума: y(1) = 3; у (3) = 7. Следовательно, А (1; 3) — точка максимума, В(3; 7) — точка минимума.
4. Из (2) видно, что вторая производная ни при каком значении аргумента не обращается в ноль. Следовательно, график исследуемой функции не имеет точек перегиба.
5.
Определим асимптоты графика функции,
х
= 2 есть
уравнение вертикальной асимптоты.
Используя соответствующие формулы,
выясним вопрос о наличии наклонной
асимптоты:
Следовательно,
– уравнение
наклонной асимптоты.
График исследуемой функции приведен на рис. 1.
Рис.
1.
Тема 7. Неопределенный интеграл
Свойства:
1) 
,
2) 
Таблица интегралов основных элементарных функций:
;
;
;
;
;
;
;
9'.
10'.
11'.
