Matematika_Zaytsev_ch2

Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

1. ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Переходим к изложению основ дифференциального исчисления. В качестве введения в дифференциальное исчисление рассмотрим задачу о скорости и задачу о касательной. Обе задачи исторически оказались связанными с формированием основного понятия дифференциального исчисления, получившего название произ-

водной.

1.1 Задача о скорости и задача о касательной

Задача о скорости. Материальная точка движется прямолинейно так, что в каждый момент времени t она находится на расстоянии S = f ( t ) от некоторой

выбранной в качестве начальной точки O (говорят, что задан закон движения

S= f ( t )). Найти скорость v движения точки в момент t0 .

Вмомент времени t0 пройденное расстояние равно f ( t0 ) = S0 , а в момент времени t0 + ∆t расстояние равно f ( t0 + ∆t ) = S1 . Таким образом, за промежу-

ток времени от t0 доt0 + ∆t точка пройдет путь ∆S = S1 −S0 = f (t0 +∆t )− f (t0 ). Средняя скорость движения материальной точки за указанный промежуток

времени равна ∆S = f ( t0 + ∆t ) − f ( t0 ) . Средняя скорость движения зависит не

∆t ∆t

только от выбранного момента времени t0, но и от длительности рассматриваемого промежутка времени ∆t. Чем меньше величина ∆t, тем точнее средняя скорость «характеризует» это движение в момент времени t0. Поэтому предел средней скорости движения при стремлении ∆t к нулю называют скоростью движения точки в данный момент времени t0 (мгновенной скоростью):

Задача о касательной. Пусть имеется кривая и лежащая на ней некоторая точка M. Возьмём на этой кривой любую другую точку N и будем перемещать её по кривой, неограниченно приближая к точке M (то есть, чтобы расстояние между ними стремилось к нулю). При этих условиях секущая MN, вообще говоря, меняет своё положение, вращаясь вокруг точки M (рисунок 1). Если существует прямая MT, являющаяся предельным положением секущей MN при неограниченном приближении точки N по кривой к точке M, то эта прямая называется касательной к кривой в точке M. Следует иметь в виду, что кривая в её точке M может и не иметь касательной.

Рассмотрим некоторую плоскую кривую с уравнением y = f ( x ) и точку

95

M (x0 , f ( x0 )) этой кривой (рисунок 2). Пусть кривая в точке M имеет невертикальную касательную MT. Напишем уравнение этой касательной.

Здесь ∆x – произвольное приращение аргумента x = x0 , а ∆y = f( x0 +∆x)− f( x0 )

– соответствующее приращение функции.

Пусть теперь ∆x→ 0, тогда точка N по кривой стремится к точке M, секущая MN, меняя своё положение, будет стремиться занять положение касательной MT к кривой в точке M. Обозначим через β угол наклона к оси OX секущей MN, а

через α – угол наклона касательной к кривой в точке M. Если ∆x→ 0, то β→α и, значит,

Уравнение касательной MT – прямой, проходящей через точку M( x0 , f ( x0 ))

Итак, если сопоставить операции, которые осуществлялись при решении рассмотренных задач, то легко заметить, что в обоих случаях по существу делалось одно и то же: приращение функции делилось на приращение независимой переменной и затем вычислялся предел их отношения. Таким путём приходим к основному понятию дифференциального исчисления – к понятию производной.

1.2 Определение производной

96

Пусть функция y = f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x. Дадим

аргументу x приращение ∆x (при этом предполагается, что точка x + ∆x принадлежит области определения функции). Тогда функция получит приращение

∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ) .

Производной функции f ( x ) в точке x называется предел отношения прира-

щения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.

ного значения аргумента x существует предел отношения (1), то только один. При конкретных числовых значениях аргумента x производная – число. В случаях, когда может возникнуть сомнение относительно переменной, по которой взята про-

Отсюда следует механический смысл производной: скорость v есть производная от пройденного пути S по времени t.

Если слово «скорость» понимать в более широком смысле, то можно производную функции y = f ( x ) по x считать скоростью изменения переменной y в точке

x. Поэтому понятие производной находит широкое применение при изучении скорости течения различных процессов (например, скорость охлаждения нагретого тела; скорость осуществления работы – мощность; скорость обесценивания оборудования и т.п.).

tgα = y′ . Отсюда следует геометрический смысл производной: производная функции y = f ( x ) в точке x равна угловому коэффициенту k = tgα касательной в точке M( x, f ( x )) графика функции.

На основании ранее приведённых рассуждений получаем, что уравнение невер-

Нормалью к кривой в её точке M называется прямая, проходящая через точку M перпендикулярно касательной к кривой в этой точке. Так как у двух взаимно перпендикулярных прямых угловые коэффициенты обратно пропорциональны и

если f ′( x0 ) ≠ 0 .

Пример 1. Найти производную функции y = x3 .

•В этом случае

∆y =( x +∆x )3 −x3 = x3 +3x2∆x+3x(∆x )2 +(∆x)3 −x3 =(3x2 +3x∆x+(∆x )2 )∆x,

Пример 2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой y = x в точ-

ке M ( 1; 1 ) .

• Функция y = x определена и непрерывна при 0 ≤ x < +∞ . Составим при-

ращение функции ∆y = x + ∆x − x . Для отыскания предела отношения при-

ращений функции и аргумента переносим иррациональность в знаменатель с последующим сокращением: