Matematika_Zaytsev_ch2

y = x3, y = x2.

• Функция y = x3 возрастает на всей числовой прямой, так как из условия x1< x2 следует x13 < x23, т.е. монотонна на R.

Функция y = x2 убывает на интервале (–∞, 0) и возрастает на интервале (0, +∞), но не является монотонной на любом интервале, содержащем точку x = 0. •

2.3 Чётные и нечётные функции

Пусть у функции y = f(x) область определения D(f) = X R симметрична относительно точки О на числовой прямой, т.е. если x Х, то и – x Х.

Функцию f(x), определенную на таком множестве X, называют чётной, если

x Х f(–x) = f(x) и нечётной, если x Х f(–x) = – f(x).

Очевидно, что график чётной функции симметричен относительно оси ОY, а график нечётной функции – относительно начала координат. На рисунке 6 показаны графики чётной функции y = x2 и нечётной функции y = x3 .

Рисунок 6 Пример 9. Определить, обладает ли свойством чётности или нечётности

функция f ( x ) = loga ( x + x2 + 1 ), x R .

•Преобразуем

Таким образом, данная функция нечётная. •

Теорема 1. Любую функцию f(x), определенную на отрезке [–a, a] R, можно представить в виде суммы чётной и нечётной функций, и это представление единственно.

41

Доказательство. Запишем f(x) = α(x) + β(x), где α(x) – чётная функция, а

β(x) – нечётная. Тогда f(–x) = α(–x) + β(–x) = α(x) – β(x).

что доказывает возможность и единственность представления f(x) в виде суммы чётной и нечётной функций.

2.4 Ограниченные функции

Функцию f(x) называют на множестве S D(f):

1) ограниченной сверху, если существует константа M R, такая, что

Ясно, что функция будет ограниченной на множестве S в том и только в том случае, когда она ограничена и сверху и снизу.

Функцию, не являющуюся ограниченной на множестве S, называют неограни-

Чтобы указать такое значение x0, нужно решить последнее неравенство:

3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

42

3.1Основные элементарные функции

Входе развития математики среди большого числа функций постепенно было выделено небольшое количество достаточно простых функций, особенно часто встречающихся в самых разнообразных приложениях математического анализа. Такие функции называют основными элементарными функциями. При изучении других, более сложных функций, широко используют известные свойства основных элементарных функций. Ограничимся перечислением этих функций с небольшими комментариями.

1. Степенная функция имеет вид

где s R – любое постоянное действительное число.

Поведение степенной функции существенно зависит от показателя степени s.

Если s Z , то (6) – рациональная функция.

нальной функцией.

Область определения D(y) степенной функции также существенно зависит от s. Например, если s N, то D(y) = R. Если s Z: s < 0, то D(y) = R\{0}.

В случае s = n1 , n N имеем D(y) = R при нечётном и D(y) = {x R: x ≥ 0}

при n чётном.

Случай иррационального s будет рассмотрен ниже (см. логарифмическую функцию).

Основные свойства показательной функции:

1)D(y) = R;

2)E(y) = (0, +∞);

1.

Показательную функцию для произвольных значений x не удаётся вычислить при помощи конечной последовательности алгебраических операций (сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень). Поэтому данную функцию относят к неалгебраическим или трансцендентным функциям.

Графики показательной функции в зависимости от a показаны на рисунке 7.

43

Рисунок 7

и определяют как обратную по отношению к показательной функции.

Это означает, что из (8) следует x = ay, т.е. x > 0 !y: ay = x. Именно это число y и называют логарифмом числа x по основанию a и обозначают logax, так что

aloga x = x .

Это основное логарифмическое тождество, по сути, является определением логарифмической функции (8).

Основные свойства логарифмической функции:

1)D(y) = (0, +∞);

2)E(y) = R;

3)функция общего вида, свойством чётности и нечётности, очевидно, не обла-

дает, так как область D(y) не симметрична относительно x = 0.

4) монотонно возрастает при a > 1 и монотонно убывает при 0 < a < 1.

Графики функции y = logax в зависимости от a приведены на рисунке 8, они симметричны соответствующим графикам функции y = ax относительно прямой y = х.

Рисунок 8

Степенную функцию y = xs можно определить равенством: xs = ( aloga x )s = as loga x , a > 0, a ≠ 1 .

44

Так как область определения показательной и область значений логарифмической функции совпадают (это вся числовая прямая), то область определения их суперпо-

зиции совпадает с областью определения логарифмической функции, т.е. при s R D(xS) = (0, +∞).

4. Из тригонометрических функций рассмотрим функции

Основные свойства функций y = sinx и y = cosx:

1)D(y) = R;

2)E(y) = [–1; 1];

3)функции периодичны с периодом T = 2π;

4)функция y = sinx – нечётная, а y = cosx – чётная (рисунок 9).

2)E(y) = R;

3)функции периодичны с периодом T = π и функции нечётны (рисунок 10).

Рисунок 10

45

5. К обратным тригонометрическим функциям относят arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx, называемые соответственно арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

прямой y = x (рисунок 11).

Рисунок 11

Основные свойства функции y = arcsinx:

1)D(y) = [–1, 1];

2)E(y) = −π , π ;

2 2

3)arcsin(–x) = – arcsinx;

4)монотонно возрастает.

Функция y = cosx убывает на отрезке [0, π] и принимает на нем все свои значения от –1 до 1 (рисунок 9), поэтому для y = cosx при 0 ≤ x ≤ π можно определить обратную функцию y = arccosx (рисунок 12).

46

Функция y = ctgx убывает на интервале (0, π), принимает на нем все свои значения (рисунок 10), на этом интервале существует обратная функция y = arcctgx. График показан на рисунке 14.

Рисунок 14

Основные свойства функции y = arcctgx:

1)D(y) = R;

2)E(y) = (0; π);

3)arcсtg(–x) = π – arcсtgx;

4)монотонно убывает.

3.2Некоторые элементарные функции

Кэлементарным функциям относят функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических операций и конечного числа суперпозиций.

Примеры элементарных функций:

называется целой рациональной функцией или алгебраическим многочленом степе-

ни n. Здесь n N , a0, a1, ... an R – коэффициенты многочлена, причем a0 ≠ 0. Значения многочлена можно найти при помощи только простых операций (сложения, вычитания, умножения и возведения в целую положительную степень). Поэтому для изучения более сложных функций часто используют их представление (хотя бы приближенное) в виде многочлена.

Многочлен первой степени

P1(x) = a0x + a1 , a0 ≠ 0

называется также линейной функцией. Её графиком, как известно, является прямая.

48