Matematika_Zaytsev_ch2

являются частным случаем производной по направлению.

Формула (16) говорит о том, что для дифференцируемой функции двух переменных знание частных производных (т. е. производных по двум взаимно перпендикулярным направлениям) позволяет написать выражение производной по любому направлению.

Замечания.

1.Если направление задаётся вектором a ={ ax ,ay } , то cosα = aarx , cos β = aary .

2. При замене направления на противоположное производная по направлению меняет знак.

Пример 16. Вычислить производную функции z = x3y − 5xy2 + 1 в точке

M(1; 1) по направлению вектора MN , где N - точка с координатами (0; 2).

z′x ( x, y ) = 3x2 y − 5 y2 z′x ( M ) = −2, z′y ( x, y ) = x3 − 10 xy z′x ( M ) = −9.

При изучении поведения функции в данной точке бывает важно найти направление, вдоль которого скорость изменения функции наибольшая в этой точке. Эта задача решается очень просто с помощью вектора, называемого градиентом.

Вектор с координатами z′x , z′y в точке M(x, y) называется градиентом функции

188

Аналогично определяется производная функции трёх переменных u = f(x, y, z)

и исследуются его свойства.

Пример 17. Найти grad u и grad u в точке M(3; 2; 1), если u = 4− x2− y2+z2.

• Вычислим частные производные и их значения в точке M:

u′x = −2x, u′y = −2 y, uz′ = 2z u′x ( M ) = −6 , u′y ( M ) = −4, uz′( M ) = 2 . Поэтому, grad u(M) = {− 6; − 4; 2} = 2{− 3; − 2; 1},

grad u( M ) = 2 ( −3 )2 + ( −2 )2 + 12 = 2 14 . •

Понятия производной по направлению и градиента функции играют важную роль во многих приложениях.

3.3 Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим вначале пространственную линию L, координаты текущей точки M(x, y, z) которой можно задать как функции от некоторого параметра t:

x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Возьмём на этой линии какую-либо точку M0(x0, y0, z0), определяемую значением параметра t = t0, т. е. x0 = x(t0), y0 = y(t0), z0 = z(t0). Придадим t0 приращение

∆t, тогда значению параметра t0 + ∆t будет соответствовать другая точка M1(x0+∆x, y0+∆y, z0+∆z) на линии L. Уравнения секущей M0M1 будут иметь вид:

где x, y, z - координаты текущей точки секущей.

Если эти уравнения в пределе при ∆t→ 0 сохраняют определённый смысл, то этим будет установлено существование предельного положения секущей, т. е. касательной. Итак, уравнения

представляют прямую, являющуюся касательной к пространственной линии

L: x = x(t), y = y(t), z = z(t) в точке M0(x0, y0, z0) при условии, что x’(t0), y’(t0), z’(t0) одновременно не обращаются в нуль.

Отметим, что вектор τ ( M0 ) ={x′( t0 ), y′( t0 ),z′( t0 )} параллелен касательной,

его называют касательным вектором к линии L в точке M0 (при значении параметра t0).

189

Nточку M0 по поверхности Σ произвольную линию L и в названной точке построим к

этой линии касательную. Таких линий (и Рисунок 7 касательных к ним) существует бесконечно

много.

Если все такие касательные лежат в одной плоскости P, то эту плоскость называют касательной плоскостью к поверхности Σ в точке M0 (точка M0 - точка касания).

Так как линия L Σ, то F(x(t), y(t), z(t)) ≡ 0 (*), где x(t), y(t), z(t) - парамет-

рические уравнения линии L. В частности, F(M0) = F(x(t0), y(t0), z(t0)) = 0, пото-

му что M0 L, M0 Σ.

Применяя правило дифференцирования сложной функции F, зависящей через промежуточные переменные x, y, z от независимой переменной t и учитывая тождество (*), получим: dFdt = Fx′ x′ + Fy′ y′ + Fz′ z′ = 0 . При t = t0 имеем

Fx′( M0 ) x′( t0 ) + Fy′( M0 ) y′( t0 ) + Fz′( M0 ) z′( t0 ) = 0 .

Полученное равенство можно записать в виде равенства нулю скалярного произведения вектора grad F( M0 ) ={Fx′( M0 ),Fy′( M0 ),Fz′( M0 )} и касательного

вектора τ ( M0 ) ={x′( t0 ), y′( t0 ),z′( t0 )} к линии L в точке M0: grad F ( M0 ) τ ( M0 ) = 0 .

Вектор grad F(M0) есть постоянный вектор в точке M0, а вектор τ

сательный вектор к линии L в точке M0 и поэтому зависит от выбора L, т. е. является переменным вектором.

Так как скалярное произведение этих векторов равно нулю, то эти векторы пер-

Σ в точке M0 (вектор n( M0 ) - вектор нормали).

Итак, касательная плоскость P проходит через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярна вектору n(r M0 ) ={Fx′( M0 ), Fy′( M0 ), Fz′( M0 )}, поэтому её уравнение, как следует из аналитической геометрии, имеет вид:

190

P : Fx′( M0 )( x − x0 ) + Fy′( M0 )( y − y0 ) + Fz′( M0 )( z − z0 ) = 0 . (19)

Назовём нормалью к поверхности Σ в точке M0 прямую N, проходящую через точку M0 и перпендикулярную к касательной плоскости P в этой точке.

Так как нормаль проходит через точку M0(x0, y0, z0), а вектор n( M0 ) − её направляющий вектор, то её канонические уравнения имеют вид:

Замечания.

1. Если поверхность Σ задана явным уравнением z = f(x, y), то уравнение каса-

Действительно, записав уравнение z = f(x, y) в виде f(x, y) – z = 0, имеем

F( x, y,z ) = f ( x, y ) − z; Fx′ = fx′, Fy′ = fy′, Fz′= −1 и, используя уравнение (19),

получим уравнение (19/).

Уравнения нормали (20) примут вид:

2. Градиент функции u = f(x, y, z) в точке M0(x0, y0, z0) направлен по нормали к поверхности уровня этой функции, проходящей через точку M0.

Действительно, поверхность уровня, на которой лежит точка M0, имеет уравне-

нормали к поверхности в точке M0, что и доказывает утверждение.

Пример 18. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x2+y2 в точке M0(1; −1; 3).

• Так как поверхность задана явно относительно z, то воспользуемся формула-

191

3.4 Экстремум функции нескольких переменных

Понятие экстремума функции нескольких переменных во многом аналогично понятию экстремума функции одной переменной, особенно если при этом использовать термины «функция точки», «окрестность точки». В основном рассматривается случай, когда точка M – точка на плоскости OXY, т. е. M(x, y), или в пространстве OXYZ, тогда M(x, y, z).

Дадим определение. Говорят, что функция u = f(M) в точке M0 имеет локальный максимум (минимум), если в некоторой окрестности U( M0 ) этой точки зна-

чение f(M0) не меньше (не больше) значения функции в любой другой точке этой окрестности, т. е.

f(M0) ≥ f(M) ( f(M0) ≤ f(M) ) M U( M0 ) .

Локальный максимум и минимум объединяются общим названием экстремум. Точку M0 называют в этом случае точкой экстремума.

В своей области определения функция может совсем не иметь экстремума, а может иметь несколько максимумов, несколько минимумов. При этом максимумы могут оказаться меньше некоторых из её минимумов. Не следует путать максимумы и минимумы функции с её наибольшим и наименьшим значениями.

Из определения следует, что если функция u = f(M) имеет экстремум в точке M0, то приращение ∆u(M0) = f(M) – f(M0) этой функции в точке M0 удовлетворяет в окрестности U( M0 ) одному из условий: ∆u(M0) ≤ 0 (если M0 – точка мак-

симума) или ∆u(M0) ≥ 0 (если M0 – точка минимума). Обратное утверждение тоже верно: если в некоторой окрестности точки M0 выполняется одно из этих неравенств, то функция имеет экстремум в этой точке.

Выясним необходимые и достаточные условия того, чтобы точка M0 являлась точкой экстремума функции u = f(M).

Теорема 8 (необходимое условие экстремума).

Пусть функция u = f(M) имеет экстремум в точке M0 и дифференцируема в этой точке. Тогда все частные производные первого порядка в точке M0 обращаются в нуль.

Доказательство проведем для случая максимума в точке M0 и ограничимся случаем функции двух переменных u = f(M) = f(x, y). Тогда, по определению, существует окрестность точки M0(x0, y0), для всех точек M(x, y) которой выполняется условие f(x, y) ≤ f(x0, y0). В частности, f(x, y0) ≤ f(x0, y0). Это значит, что функция одной переменной f(x, y0), дифференцируемая при x = x0, имеет макси-

мум при x = x0 и, следовательно, выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной:

Замечания.

1. Необходимому условию экстремума в точке M0 дифференцируемой функции u = f(M) можно придать и другие, эквивалентные, формулировки:

Рекомендуется читателю самостоятельно убедиться в эквивалентности приведенных формулировок необходимого условия экстремума.

2. Необходимое условие экстремума не является достаточным. Например, частные производные функции u = x2 – y2 равны нулю в точке O(0; 0), поэтому необходимое условие экстремума в этой точке выполнено. Однако данная функция не имеет экстремума в указанной точке, так как в любой окрестности точки O найдутся как положительные (например, при y = 0), так и отрицательные значения u (например, при x = 0), т. е. значения большие и меньшие, чем нулевое значение u в точке O.

Итак, точками экстремума дифференцируемой функции могут быть только те точки, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль (критические точки функции).

Ясно, что если дифференцируемая функция не имеет критических точек, то она не имеет и точек экстремума.

Установим теперь достаточное условие экстремума (ограничимся только случаем функции двух переменных).

Теорема 9 (достаточное условие экстремума).

Пусть в критической точке M0(x0, y0) и некоторой её окрестности функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Тогда точка M0 является точкой экстремума данной функции, если d2f(M0) знакопостоянен

для любых ∆x и ∆y и обращается в нуль только при ∆x = ∆y = 0. При этом точка M0 – точка максимума, если d2f(M0) < 0; M0 – точка минимума, если d2f(M0) > 0.

Доказательство основано на применении формулы Тейлора к данной функции

Так как точка M0 – критическая точка, то df(M0) = 0. Итак, приращение функции в точке M0 представлено в виде суммы двух б. м. при M→ M0 (или ∆x→ 0,

∆y→ 0): первое слагаемое 21 d 2 f ( M0 ) имеет второй порядок малости, а второе

193

слагаемое o( M0 M 2 ) – больший порядок, чем два, по сравнению с величиной

M0 M . Поэтому в достаточно малой окрестности U( M0 ) точки M0 (при доста-

точно малых ∆x и ∆y) если дифференциал второго порядка d2f(M0) знакопостоянен, то и приращение ∆f(M0) будет одного знака, а это означает, что точка M0 – точка экстремума для функции f(M). При этом если Μ U( M0 ) d2f(M0) > 0,

то ∆f(M0) > 0 Μ U( M0 ) , поэтому M0 – точка минимума; если Μ U( M0 )

Рассмотрим удобный для решения задач признак наличия или отсутствия экстремума в критической точке, являющийся признаком знакопостоянства и знакопеременности второго дифференциала функции.

Теорема 10 (признак Сильвестра).

Пусть в критической точке M0(x0, y0) и некоторой её окрестности функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Положим

Тогда:

1)если D > 0, то в точке M0 функция f(M) имеем экстремум (максимум, если A < 0, минимум, если A > 0);

2)если D < 0, то в точке M0 функция f(M) не имеет экстремума.

Доказательство. Запишем второй дифференциал функции в точке M0:

d2f(M0) = A(∆x)2 + 2B∆x∆y + C(∆y)2. (*)

Здесь хотя бы одно из приращений ∆x и ∆y не равно нулю (пусть ∆y ≠ 0). Тогда выражение (*) можно представить в виде:

Знак второго дифференциала d2f(M0) равен знаку выражения Ak2 + 2Bk + C. Условие знакопостоянства квадратного трехчлена Ak2 + 2Bk + C: дискриминант B2– AC < 0 D > 0. А это и есть достаточное условие экстремума функции в точке M0 (на основании теоремы 9).

При этом квадратный трехчлен будет иметь только отрицательные значения (а, значит, и второй дифференциал), если A < 0. По теореме 9 точка M0 будет точкой максимума. Случай A > 0 аналогичен.

При D < 0 нарушается условие знакопостоянства второго дифференциала в точке M0 и экстремума в этой точке не будет. Принимаем этот факт без доказательства.

Замечание. Если D = 0, то функция f(x, y) в критической точке M0 может иметь экстремум, но может и не иметь его. Это подтверждается, например, рассмотрением функций f(x, y) = x4 + y4 и f(x, y) = x4 – y4 в окрестности точки O(0;0). Советуем читателю самостоятельно убедиться, что для первой функции точка O – точка минимума, а вторая функция в точке O не имеет экстремума, хотя в обоих случаях D = 0.

Получили две критические точки M1(0; 0) и M2(1; 1). Вычислим частные про-

A1 = z′′xx ( M1 ) =0, B1 = z′′xy ( M1 ) =2, C1 = z′′yy ( M1 ) =−2, D1 = A1C1 −B12 =−4 <0 ,

то в точке M1 экстремума нет. В точке M2:

A2 = z′′xx ( M2 ) = −4, B2 = B1 = 2, C2 = C1 = −2, D2 = A2C2 − B22 = 4 > 0 .

Точка M2 – точка максимума, так как D2 > 0 и A2 < 0. Значение максимума f ( M2 ) = − 23 . •

3.5 Наименьшее и наибольшее значения функции

Пусть на плоскости OXY дана замкнутая область G с границей L. Пусть внутри области G и на границе L задана дифференцируемая функция z = f(x, y) и требуется найти наименьшее m и наибольшее M значение функции z в этой замкнутой области G.

Существование таких значений следует из непрерывности функции z в замкнутой области.

195