Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Правила дифференцирования функции

Теорема 2.Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Теорема 3.Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

Можно показать, что:

а)

б)

Теорема 4. Производная частного двух функцийесли, равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной числителя на знаменатель дроби и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

Следствие 1.

Следствие 2.где

Производные основных элементарных функций

_{Степная функция .}

_{Например,}

_{Показательная функция}

_{Логарифмическая функция}

_,

_{Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x}

_{(sin x)¢ = cos x.}

_{(cos x)¢ = .}

_{(tg x)¢}

_{(сtg x)¢}

_{Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x,}

_{y = arctg x, y = arcctg x}

_{(arcsin x)¢ =}

_{(arccos x)¢ =}

_{(arctg x)¢ =}

_{(arcctg x)¢}

Производная сложной функции

Пусть у =итогдау=f((x)) — сложная функция с промежуточным аргументоми и независимым аргументомх.

Теорема 5. Если функцияимеет производнуюв точке, а функцияимеет производнуюв соответствующей точке, то сложная функцияу=f((x)) имеет производнуюв точке, которая находится по формуле

.

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если то .

Пример 3. Найти производную функции

Решение:Используя формулу производной сложной функции и фор­мулу производной показательной функции, находим

Пример 4. Найти производную функции

Решение:Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: у =u³, гдеu=, гдеz= , гдеq= х⁴. По правилу дифференцирования сложной функцииполучаем:

Производная обратной функции

Пусть и-взаимно обратные функции.

Теорема 6. Если функциястрого монотонна на интервалеи имеет неравную нулю производнуюв произвольной точке этого интервала, то обратная ей функциятакже имеет производнуюв соответствующей точке, определяемую равенствомили

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

или

Пример 5.Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производнуюy'_xдля функции.

Решение:Обратная функция имеет производную

Следовательно,

Производная неявно заданной функции

Если функция задана уравнением у = f (х), разрешенным относительноу, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(х; у) =0, не разрешенного относительноу.

Всякую явно заданную функцию у = f (х)можно записать как неявно заданную уравнениемf (х) – у= 0, но не наоборот.

Если неявная функция задана уравнением F(х; у) = 0, то для нахождения производной отупохнет необходимости разрешать уравнение относительноу: достаточно продифференцировать это уравнение пох, рассматривая при этомукак функциюх, и полученное затем уравнение разрешить относительноу'.

Производная неявной функции выражается через аргумент хи функциюу.

Пример6. Найти производную функции у, заданную уравнением

x³ +y³ – 3xy= 0.

Решение:Функцияузадана неявно. Дифференцируем похравенство

x³+y³ – 3xy= 0. Из полученного соотношения3x² + 3y² × у' – 3(1× y + x× у')= 0

следует, что y² × у' – x× у' = y – x², т.е.

.

Таблица производных

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «х» заменен на промежуточный аргумент «u».

1. (с)¢ = 0;

2. ()¢=;

3. , в частности,;

4. , в частности,;

5. (sinu)¢=cosu×u¢;

6. (cosu)¢= ;

7. (tgu)¢ ;

8. (сtgu)¢ ;

9. (arcsinu)¢=;

10. (arccosu)¢=;

11. (arctgu)¢= ;

12. (arcctgu)¢