Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Метод вариации произвольной постоянной

Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение первого порядка линейное относительно y и т.е.

(3)

Если в (3) Q(x)=0, то (3)называется однородным:

(4)

(5)

Уравнение (5) является общим решением уравнения (4).

Будем считать произвольную постоянную с неизвестной функцией с(х), т.е.

Полученные выражения для y и подставим в (3) и найдемс (х):

Решение уравнения (3) запишется в виде (подставим в (5))

Рассмотренный способ называется методом вариации произвольной постоянной.

Решение линейных уравнений первого порядка с помощью подстановки

Уравнение (3) можно решить с помощью подстановки: y=UV, где U=U(x), V=V(x).Тогда.

Подставим ив (3):

Во многих примерах необходимо решить задачу Коши. Процесс решения сводится к отысканию частного интеграла дифференциального уравнения n-го порядка (n=1,2,3,...), удовлетворяющегоnначальным условиям вида

.

.

Т.е. ищут общее решение дифференциального уравнения, а затем, воспользовавшись начальными условиями, находят значения всех nпроизвольных постоянныхc₁, c₂,..., c_n, входящих в общий интеграл уравнения.

Пример.Найти решение задачи Коши:

.

Решение. Перед нами линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим его двумя способами.

I-способ. Решение уравнения ищется в виде произведения двух функцийU=U(X)иV=V(X), т.е.y=UV, одна из которых выбирается произвольным образом;. Подставляя в исходное уравнение, получим

.

Исходя из того, что одну из функций ищут произвольным образом, полученное уравнение разбивают на два следующим способом:

.

Выпишем первое уравнение из системы и решим его:

Мы можем воспользоваться частным случаем функции V, например, когдаc=1, V=x(значение дляcберут таким образом, чтобы функцияVне оказалась тождественно равной нулю, в противном случае невозможно будет искать функциюU). Подставим найденное значение дляVво второе уравнение системы и найдем функциюU:.

Следовательно, функция . Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения. Подставляя начальное условие, найдемc:c=0.

Т.е. решением задачи Коши, удовлетворяющем данному начальному условию является , что и будет ответом.

II-способ. Метод вариации произвольной постоянной.

Составим и решим соответствующее однородное уравнение:

.

Теперь предположим, что константа cявляется функцией от переменнойx, т.е.c=c(x), тогдаy=xc(x). Найдеми подставим в исходное уравнение:

.

Интегрируя обе части уравнения, получим

.

Тогда - общее решение исходного дифференциального уравнения. Подставляя начальное условие, найдем, чтоc=0и- частное решение.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

(11)

можно решить с помощью метода неопределенных коэффициентов.

I.Т.к. уравнение (11) неоднородное, его общее решение будет состоять из суммы общего однородного и частного неоднородного уравнений, т.е.

.

Составляем соответствующее однородное уравнение

(12)

Его характеристическое уравнение

(13)

структура фундаментальной системы решений зависит от вида корней характеристического уравнения (13).

Различают 3 случая.

а). Все корни характеристического уравнения (13) различны и вещественны. Обозначим их . Фундаментальная система решений:

,

а общее решение имеет вид:

.

б). Все корни характеристического уравнения (13) различны, но среди них имеются комплексные. Пусть — комплексный корень уравнения (13). Тогда— тоже является корнем этого уравнения. Этим корням соответствуют два линейно независимых частных решения:

.

Если ито частные решения будут иметь вид

.

Написав линейно независимые частные решения, соответствующие другим сопряженным парам комплексных корней и всем вещественным корням и составив линейную комбинацию из этих решений с произвольными постоянными коэффициентами, получим обще решение уравнения (12).

в). Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть k₁вещественныйr-кратный корень. Тогда ему соответствуютrлинейно независимых частных решений вида:

.

Если — комплексные корни уравнения (13) кратностиr, то им соответствует2rлинейно независимых частных решений вида:

Написав линейно независимые частные решения указанного вида, соответствующие всем простым и кратным вещественным корням, а также сопряженным парам простых и кратных комплексных корней, получим фундаментальную систему решений.

II. По виду правой части уравнения (11) подбирают частное решение неоднородного уравнения.

Возможны случаи.

1). , гдеP(x)– многочлен отxстепениn.

а). Если число 0не является корнем характеристического уравнения (13), то частное решение неоднородного уравнения (11) можно найти в виде, гдеQ(x)– многочлен отxтой же степениn, что иP(x)в общем, виде (т.е. с неопределенными коэффициентами).

Например,

б). Если же 0-корень характеристического уравнения кратностиr, то

.

2)..

а). Если число αне является корнем характеристического уравнения (13), то

.

3) , где— многочлены степениm иnсоответственно (один из многочленов может быть тождественно равен нулю);

а) если не является корнем уравнения (13), то

,

где - многочлены степени.

б) если является корнем характеристического уравнения кратностиr, то

.

4) где— функции вида, рассмотренного 1), 2), 3). Еслиявляются частными решениями, которые соответствуют функциям, то

.

Пример.Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Это неоднородное дифференциальное уравнение 3-го порядка, которое не содержит искомой функцииy. Составим соответствующее однородное уравнение

.

Характеристическое уравнение имеет корни:(случайIа). Частные решения однородного уравнения:

.

Соответственно обще однородного .

Теперь рассмотрим правую часть исходного уравнения: — многочлен второй степени (случайII1). По его виду составим частное решение неоднородного уравнения:.

Множитель x появляется исходя из того, чтоx=0является корнем характеристического уравнения. Находяи подставляя найденное в исходное уравнение, получим

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему

,

из которой A=1/3, B=1, C=1/2. Подставляя эти значения в общий вид частного решения, получим

.

Учитывая, что общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего однородного и частного неоднородного, имеем

.