которое называют уравнением теплопроводности.

Пусть задан тонкий стержень длиной l, боковая поверхность которого теплоизолирована и концы поддерживаются при нулевой температуре. Задача о распространении тепла в таком стержне может быть сформулирована следующим образом: найти решение однородного уравнения теплопроводности, удовлетворяющее начальному условию u(x,0) = f (x) и краевым условиям u(0,t) = 0 , u(l,t) = 0 .

Для решения этой задачи воспользуемся методом разделения переменных (методом Фурье), то есть будем искать решение этого уравнения в виде: u(x,t) = X (x) T (t) . Подставив это выражение в исходное уравнение, учитывая его линейность и однородность, и, используя начальные условия, получим:

Уравнения в частных производных второго порядка эллиптического типа часто встречаются в стационарных физических задачах. Простейшее уравнение эллиптического типа:

которое называют уравнением Лапласа. Это уравнение встречается в электростатике, магнитостатике, гидро- и аэродинамике, теории теплопроводности, теории упругости и в других науках.

Метод Фурье разделения переменных, который играет большую роль в задачах колебаний и теплопроводности, применим также к решению уравне-

210

ния Лапласа и задачи Дирихле для таких простых областей, как круг. Решим задачу методом Фурье задачу Дирихле для круга. Радиус круга обозначим через R, центр поместим в начало координат. Очевидно, что целесообразно решать задачу в полярных координатах. Тогда задача формулируется так:

Найти решение u=u(r,ϕ) уравнения Лапласа

для r<R, принимающего на границе круга, т.е. при r=R, заданные значения f(ϕ):

u r =R = f (ϕ) .

Будем искать решение этого уравнения в виде: u(r,ϕ) = R(r) Φ(ϕ) .

Подставив это выражение в исходное уравнение, учитывая его линейность и однородность, и, используя начальные условия, получим решение задачи Ди-

рихле в виде

5.2. Решение типовых примеров и задач

Пример .1. Найти общее решение уравнения

Решение. Перепишем уравнение в виде:

211

Новое представление уравнения позволяет предположить, что с введе-

нием новой функции v(x, y) = ∂∂uy мы сведем его к обыкновенному дифферен-

циальному уравнению относительно функции v, где y играет роль параметра

∂∂vx − 21x v = 0.

Разделяя переменные и интегрируя, получим

где C(y) – произвольная функция y. После потенцирования находим

v = C( y) x.

Но ∂∂uy = v , поэтому ∂∂uy = C( y) x . Отсюда

u(x, y) = x ∫C( y)dy + f (x) ,

где f(x) – произвольная функция x. Вводя обозначение g( y) = ∫C( y)dy , полу-

чим общее решение исходного уравнения

u(x, y) = f (x) + x g( y) ,

212

Решение. а) Здесь уравнение гиперболического типа (5.4) на всей плоскости xOy, так как для него

б) Здесь уравнение является уравнением эллиптического типа (5.3) в любой его области, не содержащей осей координат (x=0, y=0), поскольку для него

если x≠0, y≠0.

в) Здесь уравнение является уравнением параболического типа (5.6) на всей плоскости xOy, поскольку

г) Здесь уравнение на всей плоскости xOy является уравнением смешанного типа, поскольку

ut′(0, x) = x .

Решение. Используя формулу Даламбера (5.8), где f (x) = cos x, g(x) = x , получим

213

0≤r<1, 0≤ϕ<2π (где r,ϕ – полярные координаты), на границе которого искомая функция u(r,ϕ) имеет следующие значения u(1, ϕ) = cos 9ϕ.

Решение. Найдем коэффициенты (5.15) разложения ряда (5.14):

для всех n≠9; для n=9 получаем

214