разделим на n произвольных, необязательно равных, частей:

a=x0 < x1 < ... < xn=b.

В этом случае говорят, что произведено разбиение отрезка [a,b]. На каждом участке разбиения [xi–1, xi] возьмем произвольную точку ξi и вычислим значение функции f(x) в этих точках. Если умножить полученные значения функции f(ξi) на длину соответствующего участка xi = xi–xi–1 и просуммировать , то получим

n

Sn = ∑ f (ξi ) xi ,

i=1

которая называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a,b].

Обозначим через

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b]

называется предел последовательности интегральных сумм

если он существует, т.е. конечен и не зависит от способа разбиения отрезка

[a,b] и от выбора точек ξi на соответствующих участках и обозначается

Здесь число a называется нижним пределом, число b называется

верхним пределом интеграла.

Свойства определенного интеграла

18

−a

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то имеет место следующая формула:

b

∫ f (x)dx = F(x) ba = F(b) − F(a) .

a

Пример. Вычислить интеграл

π/ 4

∫sin 2x dx .

0

Решение.

Метод интегрирования по частям в определенных интегралах

Теорема. Если функции u=u(x) и v=v(x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b], то имеет место формула:

∫udv = uv ba − ∫vdu .

б) Применяя формулу интегрирования по частям, получим

20