Тема 7. Математическая статистика Теоретические вопросы

1. Перечислите основные задачи математической статистики.

2. Что такое статистическая гипотеза и какие вы знаете этапы её проверки?

3. Дайте понятие генеральная совокупности, выборки, статистики.

4. Какие точечные оценки вы знаете?

5. Выборочные оценки математического ожидания и дисперсии, выборочная оценка вероятности, выборочная оценка «доли», выборочная оценка линейного коэффициента корреляции Пирсона

5. В чем заключаются свойства несмещенности, состоятельности, эффективности точечных оценок?

6. Интервальные оценки. Построение доверительных интервалов для параметров. Приведите примеры (построение доверительного интервала для «доли»).

7. Что называется статистическим критерием?

8.Расшифруйте понятия: выборка, уровень значимости, критическая область гипотезы.

9. Приведите примеры (проверка гипотез о виде закона распределения, о параметрах закона распределения).

Методические указания и примеры выполнения заданий

Пример 1.

Дана выборка значений некоторого непрерывного распределенного количественного признака Х, объем выборки n = 50:

-2,25	0,38	-1,31	-1,05	-0,07	-4,17	3,69	-1,47	2,34	-1,22
0,42	-3,24	0,95	-0,68	0,15	1,75	0,71	-3,37	0,95	0,99
-3,1	-2,79	-1,15	2,26	0,21	1,37	-1,62	1,41	3,95	-1,05
-0,03	-2,49	-0,52	2,91	-5,71	0,91	-3,78	-0,14	-0,82	-2,4
3,78	1,17	-1,79	0,16	2,02	-3,88	0,64	-1,08	3,18	-0,84

Требуется:

1) Построить интервальный ряд, определив количество интервалов по формуле Стерджеса, рассчитать частоты, относительные частоты (частости), накопленные частоты, накопленные частости.

2) Построить гистограмму, кумуляту.

3) Найти средние величины: выборочное среднее, медиану, моду.

4) Найти показатели вариации: размах, среднее линейное отклонение, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Решение

1) Построим интервальный ряд: .

Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число интервалов:

Т.к. n=50, то . Начало первого интервала Конец последнего, седьмого интервала(минимальное и максимальное значение признака округлили в соответствующую сторону с точностью до десятых: для нижней границы – до десятых вниз, для верхней границы – до десятых вверх).

Длина каждого интервала будет равна .

Подсчитаем число вариант, попадающих в каждый интервал, получим вариационный ряд:

	[-5.8; -4.4)	[-4.4; -3)	[-3; -1.6)	[-1.6; -0.2)	[-0.2; 1.2)	[1.2; 2.6)	[2.6; 4)
	1	6	6	11	15	6	5

Разделив частоты на объем выборки найдем относительные частоты (частости): и запишем вариационный ряд с частостями и накопленными частотами и частостями (накопленные частоты подсчитывали как количество вариант, значения которых меньше правой границы каждого интервала).

Получаем:

	[-5.8; -4.4)	[-4.4; -3)	[-3; -1.6)	[-1.6; -0.2)	[-0.2; 1.2)	[1.2; 2.6)	[2.6; 4)
	1	6	6	11	15	6	5
	0,02	0,12	0,12	0,22	0,3	0,12	0,1
	1	7	13	24	39	45	50
	0,02	0,14	0,26	0,48	0,78	0,9	1

2) Построим гистограмму частот в MS Excel:

Построим кумуляту для интервального ряда – ломанную, которая начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината – нулю; другие точки этой ломанной соответствуют концам интервалов и накопленным частотам. Воспользуемся средствами MS Excel:

3) Найдем средние величины.

Среднее выборочное:

, где - середины интервалов.

Найдем медиану интервального ряда – значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений. Сначала определяем интервал медианы – первый интервал, в котором накопленная частота окажется больше половины объема выборки, т.е. больше 25.

Таким интервалом в нашем случае является [-0,2; 1,2].

Найдем моду интервального ряда – значение признака, которому соответствует наибольшая частота. Сначала определяем интервал моды – интервал с наибольшей частотой: [-0.2; 1.2].

4) Найдем показатели вариации.

Размах:

Среднее линейное отклонение:

, где - середины интервалов,

Выборочная дисперсия:

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент вариации:

Рассчитанная величина свидетельствует о неоднородности совокупности, т.к. однородной совокупность считается, если коэффициент вариации меньше 33% (для распределений близких к нормальному). Такой результат означает, что в исследуемой совокупности сильна вариация признаков по отношению к средней величине.

Исправленные выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение:

Пример 2. Имеются выборочные данные социологических опросов о динамике предвыборных рейтингов некоторой политической партии (в процентах) в выбранном регионе страны за предыдущие 10 недель:

А

9

14

14

8

15

17

17

10

14

22

Найти доверительные интервалы для выборочных оценок «истинных» рейтингов данной политической партии в указанном регионе (среднего значения , дисперсиии стандартного отклонениягенеральной совокупности) при доверительной вероятности.

Решение. Составим ряд распределения и найдем среднее значение , дисперсиюи стандартное отклонениеS.

xi	8	9	10	14	15	17	22
ni	1	1	1	3	1	2	1

;

Из таблицы распределения Стьюдента найдем , а из таблицы- распределения паруи, такую что, т. е,.

,

- доверительный интервал для среднего значения.

Доверительный интервал для дисперсии:

;

.

Пример 3. Исходные данные

По 10 странам Западной Европы имеются следующие данные:

Х – доля расходов домашних хозяйств на конечное потребление, % к ВВП;

У – индекс развития человеческого потенциала, %.

Признаки Х и У имеют нормальный закон распределения.

Х	57	67	78	64	83	75	88	61	71	82
У	0,71	0,80	0,95	0,77	0,95	0,89	0,99	0,80	0,86	0,95

1. Рассчитайте оценки a, b параметров уравнения парной линейной регрессии.

2. Оцените тесноту связи между признаками с помощью выборочного коэффициента корреляции. Проверьте значимость коэффициента корреляции (α = 0,05).

4. Рассчитайте выборочный коэффициент детерминации. Сделайте вывод.

Решение.

1. Рассчитаем оценки параметров линейной модели методом наименьших квадратов

y = a + bx

№	хi	уi	хi2	хi уi	уi2	ŷi	(уi - ŷi)2	(ус - ŷi)2	(уi - ус )2	(хi – хс)2
1	57	0,71	3249	40,47	0,5041	0,728	0,000324	0,01932	0,025	243,36
2	67	0,80	4489	53,6	0,64	0,817	0,000289	0,0025	0,004	31,36
3	78	0,95	6084	74,1	0,9025	0,9151	0,00122	0,0023	0,007	29,16
4	64	0,77	4096	49,28	0,5929	0,79	0,0004	0,00593	0,009	73,96
5	83	0,95	6889	78,85	0,9025	0,96	0,0001	0,00865	0,007	108,16
6	75	0,89	5625	66,75	0,7921	0,888	0,000004	0,00044	0,001	5,76
7	88	0,99	7744	87,12	0,9801	1,00	0,0001	0,01769	0,015	237,16
8	61	0,80	3721	48,8	0,64	0,763	0,00137	0,01082	0,004	134,56
9	71	0,86	5041	61,06	0,7396	0,852	0,000064	0,00023	0,00	2,56
10	82	0,95	6724	77,9	0,9025	0,949	0,000001	0,00672	0,007	88,36
∑	726	8,67	53662	637,93	7,5963	8,66	0,0039	0,0746	0,079	954,4

Найдем оценки a и b, используя систему уравнений для линейной зависимости.

Система нормальных уравнений:

;

.

Решая систему, получим

Линейная модель имеет вид: ŷ = 0, 221 + 0,00889х

2. Оценим тесноту взаимосвязи между признаками с помощью линейного коэффициента корреляции:

Коэффициент показывает высокую тесноту связи (прямолинейная зависимость).

Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции.

Выдвигаем нулевую гипотезу (Н₀) об отсутствии линейной зависимости.

Конкурирующая гипотеза (Н₁) определяет двустороннюю критическую область.

Распределение Стьюдента с k = n – 2 = 10 – 2 = 8.

T_табл (0,05; 8) = 2,31.

Так как, 12,41 > 2,31, то отклоняем гипотезу об отсутствии линейной зависимости. Другими словами, коэффициент корреляции статистически значим.

Коэффициент показывает высокую тесноту связи - прямолинейная зависимость между долей расходов домашних хозяйств на конечное потребление и индексом развития человеческого потенциала, что подтверждается экономической теорией.

4. Рассчитаем выборочный коэффициент детерминации. Для этого возведем коэффициент корреляции в квадрат.

R_в² = (r_в)² = 0,975² = 0,951

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации признака У (индекс развития человеческого потенциала), объясненную линейным уравнением регрессии.

Таким образом, в среднем 95,1% вариации индекса развития человеческого потенциала объясняется вариацией доли расходов домашних хозяйств на конечное потребление в ВВП, а 4,9% зависит от вариации неучтенных в модели факторов.

Пример 4. Приведем необходимые формулы.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид

,

где и– выборочные средние признаковX и Y, и– выборочные средние квадратические отклонения,– выборочный коэффициент корреляции:

.

Если данные наблюдений над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам

, ,

где C₁ – ложный нуль вариант X, h₁ – шаг, т.е. разность между двумя соседними вариантами; С₂ – ложный нуль вариант Y , h₂ – шаг вариант Y. В этом случае выборочный коэффициент корреляции имеет вид:

.

Величины могут быть найдены либо методом произведений (при большом числе данных), либо непосредственно по формулам:

, ,,.

Тогда величины, входящие в уравнение регрессии, можно пересчитать по формулам:

, ,,.

Решение. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X по данным, приведенным в корреляционной таблице:

y x	20	25	30	35	40
16	4	6	–	–	–	10
26	–	8	10	–	–	18
36	–	–	32	3	9	44
46	–	–	4	12	6	22
56	–	–	–	1	5	6
	4	14	46	16	20	n=100

Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей С₁ = 30, С₂ = 36, так как 32 – максимальная частота, встречающаяся в таблице.:

v u	-2	-1	0	1	2
-2	4	6	–	–	–	10
-1	–	8	10	–	–	18
0	–	–	32	3	9	44
1	–	–	4	12	6	22
2	–	–	–	1	5	6
	4	14	46	16	20	n=100

Найдем и:

= 0,34;

=– 0,04.

Найдем , для чего составим расчетную таблицу:

u v	-2	-1	0	1	2
-2	-8 4 -8	-6 6 -12	–	–	–	-14	28
-1	–	-8 8 -8	0 10 -10	–	–	-8	8
0	–	–	0 32 0	3 3 0	18 9 0	21	0
1	–	–	0 4 4	12 12 12	12 6 6	24	24
2	–	–	–	1 1 2	10 5 10	11	22
	-8	-20	-6	14	16	–
	16	20	0	14	32

Найдем вспомогательные величины и:

;

.

Найдем :

=;

.

Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:

= .

Найдем шаги

h₁ = 25 – 20 = 5; h₂ = 26 – 16 = 10.

Найдем и:

;

.

Найдем и:

= ;

= .

Искомое уравнение прямой линии регрессии Y на X :

или окончательно

.

Коэффициент детерминации для линейной регрессии равен квадрату коэффициента корреляции: . Коэффициент детерминации характеризует долю вариации признакаy, объясненную линейным уравнением регрессии. Таким образом, в среднем 57,76 % случаев изменения х приводят к изменению y, а 42,24% зависит от вариации неучтенных в модели факторов.

Значимость коэффициента корреляции

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим T_табл при k=n-2

T_табл (k; ) = (98;0.1) = 1,66

Поскольку T_набл > T_табл , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически значим. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал)

Доверительный интервал для коэффициента корреляции .