8.13. Дифференциалы высших порядков

Пусть дифференцируемая функция независимого аргумента. Тогда дифференциал функции, причемне зависит от. Дифференциалпри фиксированномявляется функцией от. Поэтому можно рассмотреть дифференциал от этой функции, который называется дифференциалом второго порядка функциии обозначается. Аналогично определяются дифференциалы третьего и более высоких порядков.

Определение дифференциалов высших порядков

Дифференциалы высших порядков определяются при фиксированном следующим образом:

.

Вычисление дифференциалов высших порядков

Выведем формулы для вычисления дифференциалов высших порядков:

, то есть

.

Аналогично вычисляется дифференциал любого −го порядка:

.

Дифференциалы сложной функции

Приведенные выше формулы справедливы только, если независимая переменная. Теперь рассмотрим случай, когда, гдезависимая переменная. Тогда функциясложная функция аргументаи для ее дифференциала получим:

.

Форма дифференциала первого порядка имеет один и тот же вид (то естьинвариантна)и в случае, когдазависимое переменное, и в случае, когданезависимое переменное.

9. Теоремы о среднем

9.1. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение. В их формулировке фигурирует некоторая «средняя» точка, поэтому их называют теоремами о среднем. Иногда, в силу их значимости, эти теоремы называют основными теоремами дифференциального исчисления.

Теорема Ролля.Пусть функция

1) непрерывна на отрезке 2) дифференцируема на интервале,

3) на концах отрезка принимает равные значения .

Тогда найдется хотя бы одна точка , в которой производнаяобращается в нуль, т.е..

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале. Тогда найдется хотя бы одна точкатакая, что

или .

.

Следствие.Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Теорема Коши.Пусть функциии

1) непрерывны на отрезке 2) дифференцируемы на интервале,

3) на. Тогда найдется хотя бы одна точкатакая, что

.

.

9.2. Правило Лопиталя

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида илис использованием производных и выводится с помощью рассмотренной теоремы Коши.

Теорема Лопиталя. Пусть 1) в выколотой окрестности точкифункциидифференцируемы и2) существует.

Тогда, в случае неопределенности или, справедливо правило Лопиталя:

.

9.3. Формула Тейлора

Во многих прикладных задачах требуется заменить сложную функцию многочленом, близким кв окрестности точки, в том смысле, что

.

Введем ряд понятий.

1. Многочлен , удовлетворяющий условию (9.3), называетсямногочленом Тейлора −го порядка функции в окрестности точки_.

2. Разность между функцией и её многочленом Тейлораобозначают:.

3. Формула , где− многочлен Тейлора, называетсяформулой Тейлораn-го порядка для функции, называетсяостаточным членомформулы Тейлора.

Теорема 9.1 (о виде многочлена Тейлора).

Пусть функция дифференцируемараз в окрестности точки. Тогда многочлен Тейлораго порядка функцииимеет вид:

.

Используя вид многочлена Тейлора, запишем формулу Тейлора − го порядка:

.

При формула Тейлора называетсяформулой Маклоренаи имеет вид:

Рассмотрим вид остаточного члена формулы Тейлора.

Теорема 9.2 (об остаточном члене в форме Пеано).

Пусть функция дифференцируемараз в окрестности точки. Тогда остаточный член формулы Тейлора имеет вид:

при .

.

Эту формулу будем называть асимптотическим разложениемго порядка функциив окрестности точки.

Теорема 9.3 (об остаточном члене в форме Лагранжа).

Пусть функция дифференцируема раз в окрестности точки . Тогда остаточный член формулы Тейлора в этой окрестности можно записать в форме

, (9.10)

где – некоторая точка между и .