13. Основные методы интегрирования

13.1. Метод подведения под знак дифференциала

Этот метод применяется для вычисления интегралов вида . Воспользуемся тем, что. При этом говорят, что мы подвели функциюпод знак дифференциала. Если еще сделать замену, то мы получим интеграл более простой, чем первоначальный:

.

После нахождения этого интеграла следует вернуться к переменной , заменивна.

Отметим, что при подведении функции под знак дифференциала преждевсего используется определение дифференциала и два его свойства

,

.

Рассмотрим, как подвести под знак дифференциала некоторые функции:

, ,

, ,

, ,

, .

.

2. Метод замены переменной

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл к более простому. Такой метод называется методом замены переменной или методом подстановки.

Пусть функция непрерывно дифференцируема на промежутке и имеет обратную функцию. Тогда

.

Выражение, стоящее в правой части этой формулы, означает, что после отыскания интеграла вместо нужно подставить его выражение через.

При замене переменной в интеграле нужно

а) заменить переменную на функцию , заменитьна,

б) вычислить получившийся интеграл,

в) результат выразить через первоначальную переменную .

Укажем некоторые рекомендации по выбору новой переменной. Пусть −рациональная функция, полученная изс помощью сложения, вычитания, умножения, деления. Приведем рекомендации по выбору новой переменной.

Тип интеграла	Замена
	, - наименьшее общее кратное чисел

2. Метод интегрирования по частям

Пусть и – дифференцируемые функции. Найдем дифференциал их произведения: . Проинтегрируем это равенство и воспользуемся свойством . Тогда получим формулу или

. (13.6)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула применяется, когда подынтегральное выражение можно представить в виде произведения двух множителей итак, чтобы отыскание функциипо ее дифференциалу и вычисление интеграласоставляли в совокупности задачу более простую, чем вычисление интеграла.

Умение разбивать разумным образом подынтегральное выражение на множители и вырабатывается в процессе решения задач. Укажем, когда и как это делается в некоторых случаях:

1) интегралы ,

где – многочлен, вычисляются многократным интегрированием по частям, причем следует взять, а оставшееся выражение взять за ;

при каждом применении формулы (13.6) степень многочлена будет понижаться на единицу;

2) интегралы вида также вычисляются методом интегрирования по частям, но заследует взять соответственно функции.

14. Интегрирование некоторых классов функций

1. Интегрирование тригонометрических функций

Случай 1. ,где хотя бы одно из чисел положительное нечетное число. В этом случае следует отделить от нечетной степени (или ) одну степень и подвести ее под знак дифференциала.

.

Случай 2. , гдечетные неотрицательные числа. В этом случае следует понизить степень, используя формулы удвоения угла:

, ,. (14.1)

Случай 3. , гдецелые числа ихотя бы одно из них отрицательное.

Здесь единой рекомендации нет. Выделим следующие случаи.

а). В подынтегральной функции степень числителя четная и на единицу меньше степени знаменателя, например,…

В этом случае применяется метод интегрирования по частям.

б). В подынтегральной функции степень числителя меньше на две единицы степени знаменателя,например,…

Следует подынтегральное выражение выразить через иили черези.

в). В подынтегральной функции степень числителя меньше на единиц степени знаменателя. Следует увеличить степень числителя, умножив его на выражение, равное единице.

Случай 4.

, где−рациональная функция от :

а) если , то следует подынтегральное выражение выразить черези,

б) в остальных случаях (не рассмотренных ранее) следует подынтегральное выражение выразить через и.