Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПП_16_Иссл_функ.doc

Скачиваний:

Добавлен:

22.02.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

2. Экстремумы функции

Необходимым условием существования экстремума функции является равенство нулю ее производной в точке экстремума: (если в этой точке производная существует).

Геометрически это означает, что касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси.

Достаточным условием существования экстремума функции в точке является изменение знака ее первой производной в этой точке:

в точке максимума функции знак производной изменяется с положительного на отрицательный, что соответствует возрастанию функции до точки максимума прии убыванию после нее при.

Существуют точки, в которых необходимое условие экстремума не выполняется, но тем не менее функция в них может иметь экстремум.

Критическими называются точки, в которых производная функции равняется нулю, не существует или обращается в бесконечность. Критические точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности.

№ п/п	Примеры ПП 16 2. Экстремумы функции
№5.	Для функции на отрезкезначениеявляется минимальным, т.к. производнаяравна нулю в точке.
№6.	Функцияне дифференцируема в точке , так как касательные к графику функции слева и справа от точкиразличны, однако функция имеет минимум в этой точке. Функцияявляется строго убывающей прии строго возрастающей при. В точкеграфик имеет острый минимум (так называемую угловую точку).
№7	Функцияи ее производная имеют бесконечный разрыв при. Функция возрастает прии убывает при, но экстремума в точкене имеет.
№8.	Функцияне дифференцируема в точке, так какпри, график функции имеет в точке 0 вертикальную касательную, функция является убывающей при, возрастающей при, в точкефункция имеет минимум (такая точка графика называется точкой возврата).
№9.	Для функциив точкевыполняется необходимое условие экстремума. Однако точкане является точкой экстремума этой функции, в ней не выполняется достаточное условие экстремума, т.к. для любыхи функциявозрастает на всей числовой оси.
№10	Для функции в точке производная не существует, однако экстремум отсутствует.

3. Асимптоты графика функции

№ п/п	Примеры ПП 16 3. Асимптоты графика функции
№11.	У графика существует левая горизонтальная асимптота () и не существует правой горизонтальной асимптоты.
№12	У графика существует правая горизонтальная асимптота () и не существует левой горизонтальной асимптоты.
№13	У графика существуют обе горизонтальные асимптоты: - левая горизонтальная асимптота (), - правая горизонтальная асимптота ().
№14	Уграфикаобе горизонтальных асимптоты существуют и совпадают (). Кроме того, график функцииимеет вертикальную асимптоту, поскольку,.
№15	Криваяимеет вертикальные асимптотыи.
№16	Построим график функциибез использования производной. Преобразуем выражение: ,. График этой функции получается смещением графика на две единицы влево, на одну единицу вверх и выкалыванием точки графика с абсциссой. Прямые иявляются вертикальной и горизонтальной асимптотами. Для гиперболы с центром симметрии в точке уравнения вертикальной и горизонтальной асимптот имеют вид: и.
№17	Исследуйте поведение функции в точке . , , , . Прямаяявляется вертикальной асимптотой.
№18	Найдите асимптоты графика функции . ,,. График имеет две несовпадающие наклонные асимптоты: левую и правую.