II. Кривые, заданные параметрически

№ п/п

ЗАДАЧИ

Ответ

ПП16 II.№1.

Постройте кривую, заданную параметрически: ,,.

РЕШЕНИЕ:

Возможные точки пересечения графика с координатными осями – решения уравненийи. Оба уравнения преобразуются к видуи решений не имеют, график функции не пересекает координатных осей и полностью лежит в первом квадранте:,. Более того, рассмотрев графики функций, входящих в уравнение, можно убедиться, что,. Частное значение:,. График состоит из двух ветвей, исходящих из точки; одна соответствует, вторая –. Для обеих ветвей,и при, и при. Рассмотрим возможные асимптоты:,,– правая наклонная асимптота ветви графика, соответствующей., т.е., ветвь, соответствующая, асимптоты не имеет. Найдем первую производную:,,. При:,,. При:,,,, т.е. прии, следовательно,на этой ветви возрастает как. Найдем вторую производную.,,. На каждой ветви графика сохраняется направление выпуклости: при, график выпукл вверх, при, график выпукл вниз.

при (точка возврата);- асимптота при

ПП16 II.№2.

Постройте кривую , заданную параметрически.

РЕШЕНИЕ:

Возможные точки пересечения графика с координатными осями – решения уравненийи. Осьпересекается один раз в точке, соответствующей, осьпересекается трижды, что легко видеть из соответствующих графиков. Приграфик функции лежит в первом квадранте,,; при– в третьем:,. Рассмотрим возможные асимптоты:,,– правая наклонная асимптота графика, соответствующая.,,– левая наклонная асимптота графика, соответствующая. Вычислим производные.,,;,,. При,,, т.е., в точкекасательная к графику вертикальна. Найдем корни первой производной:. Очевидно, прилокальный максимум,,; прилокальный минимум,,. Вторая производная меняет знак в единственной точке при; при, график выпукл вниз, при, график выпукл вверх. Из этого следует, что график не пересекает асимптоты, в противном случае направление выпуклости должно было бы смениться.

- максимум; - минимум,- точка перегиба,и- асимптоты