Расин, Алгебра

Эти следствия непосредственно вытекают из примеров 1, 2 разд. 5.7 и теоремы 5.30.

Рассмотрим произвольное числовое множество X, содержащее некоторый интервал (a; b).

Из очевидных включений (a; b) X R получаем

|(a; b)| 6 |X| 6 |R|.

Поскольку |(a; b)| = |R|, имеем |X| = |(a; b)|. Следовательно, справедлива

Теорема 5.10. Пусть X – произвольное множество действительных чисел, содержащее некоторый интервал. Тогда множество X имеет мощность континуум.

Пусть A, B – непересекающиеся счетные множества. Тогда множества 2A, 2B имеют мощность континуум. Имеем

|2A × 2B | = |2A B |.

Ясно, что A B – счетное множество, поэтому 2A B имеет мощность континуум.

Стало быть, справедлива

Теорема 5.11. Прямое произведение двух множеств мощности континуум само имеет мощность континуум.

Заметим, что на координатной плоскости прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, можно считать прямым произведением двух отрезков. Таким образом, из теоремы 5.11 вытекает

Предложение 5.31. Множество всех точек любого прямоугольника имеет мощность континуум.

110

6. Числовые функции

6.1. Определение числовой функции

Пусть X – числовое множество.

О п р е д е л е н и е. Отображение f из X в R называется числовой функцией.

Таким образом, числовая функция f каждому числу из множества X ставит в соответствие единственное число f (x). Заметим, что вся терминология и все обозначания, введенные нами при изучении отображений, полностью сохраняются и для числовых функций. В частности, множество X – это область определения функции f . Как и раньше запись f : X −→ R означает, что f является функцией с областью определения X.

Как правило, в школьном курсе математики наиболее употребительным является задание функций при помощи формул. А именно, пусть g(x) – некоторое алгебраическое выражение с одной переменной x. Обозначим через D область определения выражения g(x). (Напомним, что область определения выражения g(x)

– это множество всех чисел, при подстановке каждого из которых вместо x выражение g(x) имеет смысл.) Рассмотрим функцию g : D → R, заданную правилом: каждому x D сопоставляется y = g(x) R. Множество D называется естественной областью определения функции g.

Пусть X – некоторое подмножество множества D. Запись

y = g(x), x X,

обозначает функцию g : X −→ R, ставящую в соответствие числу x X число y = g(x) R.

Примеры:

1. y = x2, x > 0.

√

2. y = x − 1.

Графики этих функций представлены на рис. 2.

Пусть f : X −→ R – некоторая числовая функция. Ее множеством значений называется множество

{y R|y = f (x) для некоторого x X}.

111

Примеры:

1)множество значений функции y = 2{x} − 1 – полуинтервал

[−1; 1);

2)множество значений функции y = 1 − x2 – луч (−∞; 1].

Для отыскания множества значений функции y = f (x), x X, можно использовать следующее обстоятельство. Уравнение y = f (x) содержит две переменные. Будем считать, что в этом уравнении x – неизвестная величина, а y – параметр. Нетрудно понять, что число y принадлежит множеству значений функции y = f (x), x X, тогда и только тогда, когда уравнение f (x) = y имеет хотя бы одно решение на множестве X.

Рассмотрим несколько задач на отыскание множеств значений

нение имеет решение тогда и только тогда, когда 5 −y > 0, y 6 5.

= t. Получим уравнение t2 − 2t − 2 − y = 0. Поскольку t > 0, вопрос о разрешимости исходного уравнения сводится к вопросу

оразрешимости системы

t2 − 2t − 2 − y = 0, t > 0.

Дискриминант D квадратного трeхчлена t2 − 2t − 2 − y равен 4y + 12. Если система имеет решение, то разрешимо уравнение

112

t2 − 2t − 2 − y = 0, откуда D > 0, т. е. y > −3. Нетрудно видеть, что для всякого y > −3 система разрешима. В самом деле, пусть t1, t2 – корни уравнения t2 −2t−2−y = 0. Тогда t1 +t2 = 2, поэтому среди чисел t1, t2 по крайней мере одно является положительным.

Ответ: [−3; +∞).

3. Найти множество значений функции y = x + 4/x.

Поскольку уравнения y = x + 4/x и x2 − xy + 4 = 0 равносильны, достаточно найти те y, при которых разрешимо уравнение x2 −xy + 4 = 0. Так как D = y2 −16, то имеем y2 −16 > 0, откуда y 6 −4, y > 4.

Ответ: (−∞; −4] [4; +∞).

x

4. Найти множество значений функции y = x2 + x + 1 .

Уравнение

x

y = x2 + x + 1

равносильно уравнению yx2 + (y − 1)x + y = 0. При y = 0 это уравнение имеет решение x = 0. При y 6= 0 уравнение yx2 + +(y − 1)x + y = 0 является квадратным (относительно x) и имеет решения, если D = (y − 1)2 − 4y2 > 0, т. е. −3y2 − 2y + 1 > 0, откуда −1 6 y < 0, 0 < y 6 1/3.

Ответ: [−1; 1/3].

1 + {x}

5. Найти множество значений функции y = 2 − {x}.

Уравнение

1 + {x} y = 2 − {x}

равносильно уравнению 2y − y{x} = 1 + {x}, или (y + 1){x} = = 2y − 1. Замена t = {x} приводит к системе

(y + 1)t = 2y − 1,

0 6 t < 1.

При y = −1 уравнение (y + 1)t = 2y − 1 решений не имеет. Пусть y 6= −1. Тогда t = (2y − 1)/(y + 1) и из условия 0 6 t < 1

получаем

0 6 2y − 1 < 1. y + 1

113

Решая последнее неравенство методом интервалов, получим Ответ: [1/2; 2).

6.2.Свойства числовых функций

Вэтом разделе мы напоминаем определения изучаемых в школьном курсе математики свойств числовых функций. Такие свойства, как четность, нечетность и ограниченность не нуждаются в особых комментариях. Понятие периодической функции является более сложным, чем предыдущие, и потому заслуживает развернутого комментария. Монотонным функциям посвящен отдельный раздел. В разделе 6.5 вводится важное понятие выпуклой вниз (вверх) функции.

Оп р е д е л е н и е. Функция y = f (x), x X, называется четной, если для любого x X выполнено условие −x X и f (−x) =

=f (x).

Оп р е д е л е н и е. Функция y = f (x), x X, называется нечетной, если для любого x X выполнено условие −x X и f (−x) =

=−f (x).

Оп р е д е л е н и е. Функция y = f (x), x X, называется возрастающей на промежутке E X, если для любых x1 , x2 E

из неравенства x1 < x2 следует неравенство f (x1) < f (x2).

Оп р е д е л е н и е. Функция y = f (x), x X, называется убывающей на промежутке E X, если для любых x1 , x2 E из неравенства x1 < x2 следует неравенство f (x1) > f (x2).

Оп р е д е л е н и е. Функция называется монотонной на промежутке E, если на этом промежутке она либо возрастающая, либо убывающая.

Оп р е д е л е н и е. Функция y = f (x), x X, называется ограниченной, если существует такой отрезок [m; M ], что f (x)[m; M ] для любого x X.

Оп р е д е л е н и е. Функция y = f (x), x X, называется периодической, если существует такое T 6= 0, что для любого x X выполнено условие: x − T X, x + T X и f (x + T ) = f (x).

114

Такое число T называется периодом функции y = f (x). Заметим, что если T – период функции, то

f (x − T ) = f (x − T + T ) = f (x),

т. е. −T – также период. Более того, для любого целого k 6= 0 число kT является периодом. Наименьший положительный период (если такой существует) называется основным периодом данной периодической функции. Например, функция y = {x} является периодической и ее основной период равен 1, поскольку {x} = {x + k} для k Z. Основной период функций y = sin x, y = cos x равен 2π, а основной период функций y = tg x, y = ctg x есть π. Заметим, что существуют периодические функции, не имеющие основного периода. Простейший пример доставляет функция y = a, где a – фиксированное число. Ясно, что периодом этой функции является любое отличное от нуля число. Менее тривиальным примером периодической функции без основного периода является функция Дирихле d(x), определенная правилом:

d(x) =

1, если x Q,

0, если x R \ Q.

Ее периодом является любое рациональное число r 6= 0; это следует из следующего легко проверяемого утверждения:

x Q x + r Q.

Из полученного равенства видно, что x1 − x2 < 0 f (x1) − −f (x2) < 0, т. е. y = f (x) – возрастающая функция.

2.Доказать, что функция y = x3 −3x убывает на отрезке [−1; 1]

ивозрастает на каждом из лучей (−∞; −1] и [1; +∞).

115

Пусть x1 > x2. Рассмотрим разность

y(x1) − y(x2) = (x1 − x2)(x21 + x1x2 + x22 − 3).

Если x1, x2 (−∞; −1] или x1, x2 [1; +∞), то x21 > 1, x22 > 1, x1x2 > 1 и потому x21 + x1x2 + x22 > 3. Стало быть, в этом случае

число x21 + x1x2 + x22 − 3 положительно. Так как x1 − x2 > 0, имеем y(x1) > y(x2), т. е. функция возрастает на каждом из лучей

(−∞; −1] и [1; +∞).

Пусть x1, x2 [−1; 1]. Тогда выполнены неравенства |x1| 6 1, |x2| 6 1. Если хотя бы одно из этих двух неравенств строгое, то |x1x2| < 1. Поскольку x21 6 1, x22 6 1, имеем

x21 + x1x2 + x22 6 |x21 + x1x2 + x22| 6 x21 + |x1x2| + x22 < 3.

В противном случае x1 = −1, x2 = 1, откуда следует, что x21 + +x1x2 + x22 = 1 < 3. Стало быть, число x21 + x1x2 + x22 − 3 отрицательно при любых x1, x2 [−1; 1]. Так как разность x1 − x2

положительна, получаем, что y(x1) < y(x2), т. е. функция убывает на отрезке x1, x2 [−1; 1].

3. Доказать, что функция y = x/(x2 + 1) является ограниченной.

Пусть f (x) = x/(x2 + 1). Поскольку x2 + 1 > 2|x| при любом x R, имеем:

=f (x) – ограниченная функция.

4.Найти основной период функции y = {3x/2} + {x/3}.Данная функция является периодической, так как

Пусть T > 0 – основной период. Тогда равенство

116

выполнено при всех x. Подставляя в это равенство x = 0, получим {3T /2} + {T /3} = 0. Так как {3T /2} > 0, {T /3} > 0, то число T одновременно удовлетворяет равенствам {3T /2} = 0, {T /3} = 0, откуда 3T /2 = n, T /3 = m для некоторых n, m Z. Поскольку

T= 2n/3 и T = 3m, имеем 2n/3 = 3m, 2n = 9m. Учитывая, что n, m Z, из последнего равенства получаем, что m – четно, т. е. m = 2k, k Z. Таким образом, T = 6k. Мы получили, что если

T– период, то T Z и T кратно шести. Поскольку выше мы проверили, что число 6 – период данной функции, получаем, что 6 – основной период.

5. Доказать, что функция y = {|x|} не является периодической.Доказательство проведем методом “от противного”. Пусть y = {|x|} – периодическая функция и T – ее период, причем T > 0.

Тогда

для любого x. Подставляя в это равенство x = 0, с учетом неравенства T > 0 получим T = k, где k N. Положим теперь в равенстве (1) x = −1/4. Тогда {|T − 1/4|} = 1/4. Поскольку T принимает натуральные значения, T > 1/4; поэтому {(T −1/4)} = = 1/4, откуда T − 1/4 = 1/4 + m для некоторого целого m. Стало быть T = k = m + 1/2. Противоречие. √

6. Доказать, что функция y = {x} + { 2x} не является периодической.

Как и в предыдущей задаче, для доказательства применим метод “от противного”. Пусть данная функция является периодической и T > 0 – один из ее периодов. Тогда равенство

√ √

{x + T } + { 2(x + T )} = {x} + { 2x}

выполнено при всех x. Подставляя x = 0, получим y = {T } +

√

+{ 2T }. Рассуждая далее, как в задаче 4, найдем, что T = n и

√

2T = m, n, m Z. Так как T 6= 0, то, поделив второе уравнение

√

на первое, получим 2 = m/n. Последнее равенство невозможно,

√

так как 2 – иррациональное число.

117

6.3.Монотонные функции

Вэтом разделе мы докажем несколько утверждений о монотонных функциях.

Сначала сформулируем необходимое и достаточное условие монотонности функции на промежутке. Рассмотрим графики двух функций, одна из которых возрастает (рис. 3, a), а другая убывает

(рис. 3, b) на данном промежутке.

Рис. 3

Легко видеть, что каждая из этих функций обладает следующим свойством: каковы бы ни были x1, x2, x3 из промежутка монотонности из того, что x2 лежит между x1, x3 следует, что f (x2) лежит между f (x1), f (x3). Оказывается, это условие является необходимым и достаточным для монотоности функции на промежутке.

Теорема 6.1. Функция y = f (x), x X монотонна на промежутке E X тогда и только тогда, когда для любых x1, x2, x3E из неравенства

следует неравенство

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим, что сформулированное условие влечет монотонность. Пусть t1, t2 E, причем t1 < t2. Предположим, что f (t1) < f (t2), и докажем, что в этом случае данная

118

функция возрастает на E. Пусть x – произвольное число из E, отличное от t1, t2. Допустим, что x < t1. Тогда (t1 −x)(t2−t1) > 0, поэтому (f (t1)−f (x))(f (t2)−f (t1)) > 0. Поскольку f (t2)−f (t1) > 0, получаем f (t1) − f (x) > 0, т. е. f (t1) > f (x). Итак, имеем

Аналогично проверяется, что

Пусть x1, x2 E и x1 < x2. Если x1, x2 лежат по разные стороны от t1, то x1 < t1 < x2, откуда при помощи соотношений (4) и (5) сразу вытекает, что f (x1) < f (t1) < f (x2), т. е. f (x1) < f (x2). Предположим, что x1, x2 находятся по одну сторону от t1. Из двух возможностей рассмотрим только одну: x1 < x2 < t1. Тогда f (x2) < f (t1). Теперь видно, что в соотношении (5) можно t1, x, t2 заменить на x1, x2, t1. Отсюда снова f (x1) < f (x2). Итак, доказано, что из предположения f (t1) < f (t2) следует возрастание функции на промежутке E. Аналогично можно проверить, что неравенство f (t1) > f (t2) влечет убывание функции на данном промежутке.

Проверка обратного утверждения очень проста и потому оставляется читателю.

Предложение 6.1. Пусть функции y = f (x), y = g(x) возрастают (убывают) на промежутке E. Тогда их сумма y = = f (x) + g(x) также возрастает (убывает) на E.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x1, x2 E и x1 < x2. Тогда

(f (x1) + g(x1)) − (f (x2) + g(x2)) = f (x1) − g(x1) + f (x2) − g(x2).

Разности f (x1) − g(x1), f (x2) − g(x2) имеют одинаковые знаки; тот же знак, очевидно, имеет и разность (f (x1) + g(x1)) −(f (x2) + +g(x2)).

Предложение 6.2. Пусть функции y = f (x), y = g(x) возрастают (убывают) на промежутке E. Если обе функции положительны на E, то их произведение y = f (x)g(x) также возрастает (убывает) на E.

119