Расин, Алгебра

λ1 = . . . = λn = 1/n. Поскольку при α > 1 степенная функция y = xα выпукла вниз на луче [0; +∞), в силу неравенства Иенсена

Возводя обе части последнего неравенства в положительную степень 1/α, получим требуемое неравенство.

6.6. Функция, обратная к данной

При изучении отображений произвольных множеств мы убедились, что для каждого биективного отображения существует обратное отображение. В случае, когда рассматриваются числовые функции, будет определена функция, являющаяся обратной к произвольной инъективной функции.

Пусть y = f (x), x X – инъективная функция, Y – ее множество значений. Из предложения 5.4 следует, что существует такая функция x = g(y), y Y , что

x = g(y) y = f (x).

Функцию g мы и будем называть обратной к данной числовой функции f .

Таким образом, применительно к числовым функциям мы расширили класс функций, имеющих обратные. В дальнейшем инъективную числовую функцию мы будем называть обратимой.

Если функция x = g(y) является обратной к функции y =

=f (x), x X, то выполнены следующие свойства:

1.Область определения функции g совпадает с множеством значений Y функции f ;

2.Множество значений функции g совпадает с областью определения функции f ;

3.g(f (x)) = x для любого x X;

4.f (g(y)) = y для любого y Y .

Для того чтобы доказать, что данная числовая функция y = = f (x), x X является обратимой, достаточно убедиться в том, что для каждого y из множества значений Y функции f уравнение f (x) = y имеет единственное решение на множестве X. Если при

130

этом удается выразить x через y, то тем самым получается правило, определяющее обратную функцию. Рассмотрим несколько примеров на нахождение функции, обратной к данной. В каждом из примеров требуется убедиться в том, что данная функция обратима, и найти обратную к ней функцию.

1. y = 2x − 6, x [1; 4].

Нетрудно понять, что уравнение 2x − 6 = y всегда имеет

Стало быть, данная функция обратима. Правило, определяющее обратную к данной функцию, задано равенством (20). Найдем область определения обратной функции. Решая двойное неравен-

ство

1 6 y2 + 3 6 4,

получим −4 6 y 6 2. Значит, функция, обратная к заданной, имеет вид x = y/2 + 3, y [−4; 2].

2. y = x2 − 2x + 3, x (−∞; 1].

Найдем сначала множество значений Y данной функции. Мы

имееет хотя бы одно решение. Для этого достаточно, чтобы его дискриминант D = 4(y − 2) был неотрицателен. Стало быть, Y = [2; +∞). Покажем теперь, что для каждого y > 2 уравнение (21) имеет единственное решение. Пусть x1, x2 – корни этого уравнения, причем x1 6 x2. Тогда

Пусть y принадлежит множеству значений исходной функции, т. е. y > 2. Если y > 2, то 2 − y < 0, а потому x1 − 1 < 0, x2 − 1 > 0. Это означает, что только x1 лежит на луче (−∞; 1]. Если же y = 2,

131

то уравнение (21) имеет совпадающие корни x1 = x2 = 1. Таким образом, если y > 2, то на луче (−∞; 1] лежит только меньший корень уравнения (21). Вычисляя этот корень, окончательно по-

лучаем

p

x = 1 − y − 2, y [2; +∞).

Предложение 6.5. Пусть y = f (x), x X, – функция, Y – ее множество значений. Если f возрастает (убывает) на множестве X, то

1) f – обратима;

2) обратная к f функция g является возрастающей (убывающей) на множестве Y .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что f – возрастающая на X функция.

1.Если x1, x2 X и x1 6= x2 , то либо x1 < x2, либо x2 <

<x1. В первом случае f (x1) < f (x2), во втором f (x2) < f (x1). Таким образом, f (x1) 6= f (x2).

2.Пусть g : Y → X – функция, обратная к f . Предположим,

что существуют y1, y2 Y такие, что y1 < y2, но g(y1) > g(y2). Тогда f (g(y1)) > f (g(y2)), откуда y1 > y2.

Очевидно, что случай, когда f убывает на множестве X, рассматривается аналогично.

6.7. График числовой функции

О п р е д е л е н и е. График числовой функции y = f (x), xX, – это множество всех точек координатной плоскости вида

(x, f (x)), x X.

График является очень наглядным способом представления функции. Поэтому важно научиться строить графики функций, изучаемых в школьном курсе математики. В разд. 6.8 мы рассмотрим приемы построения графиков, основанные на их преобразованиях. А пока займемся графиками следующих функций:

(a)линейной функции y = ax + b;

(b)функции y = ax2, a 6= 0;

(c)функции y = k/x, k 6= 0.

132

Если спросить, что представляет собой график функции в каждом из случаев (a) – (c), то каждый ответит, что в случае (a) графиком является прямая, а в случаях (b), (c) – парабола и гипербола соответственно. Казалось бы, эти факты не нуждаются в пояснениях. Однако призадумаемcя: откуда все-таки следует, что график линейной функции – прямая. Понятие прямой возникает в курсе геометрии. Причем определение этого понятия не дается; все, что мы знаем о прямой – это некоторые ее свойства, описываемые аксиомами. Линейная функция задается алгебраическим выражением специального вида. Почему же между этими внешне различными понятиями существует связь ? В случаях (b) и (c) ситуация еще хуже: мы пока даже не можем ответить на вопрос – а что такое парабола или гипербола ? Данный раздел посвящен ответу на поставленные вопросы.

Теорема 6.4. Графиком линейной функции y = ax+b является прямая, не параллельная оси ординат. Обратно, всякая прямая, не параллельная оси ординат, является графиком некоторой линейной функции.

имеем

M G M (AB).

133

Отсюда следует совпадение графика G и прямой (AB). Обратно, пусть l – произвольная прямая, не параллельная оси

ординат. Рассмотрим на прямой l точки A, B с абсциссами 0 и 1 соответственно. Обозначим через b и c ординаты этих точек; тогда A(0; b), B(1; c). Пусть a = c−b. Ясно, что точки A, B принадлежат графику функции y = ax + b. Выше уже было проверено, что в таком случае график линейной функции и прямая (AB) = l совпадают.

Перейдем к изучению графика функции y = ax2, a 6= 0. Дадим сначала определение параболы.

О п р е д е л е н и е. Пусть d – произвольная прямая, F – точка, не принадлежащая прямой d. Множество всех таких точек M , что расстояние между точками M и F равно расстоянию от точки M до прямой d называется параболой.

Точка F называется фокусом параболы, прямая d – ее директрисой.

обозначим через 2p. Тогда F (0; p), а прямая d имеет уравнение y = −p.

Пусть M (x; y) – произвольная точка плоскости. Мы знаем, что

p

|M F | = x2 + (y − p)2.

Кроме того, расстояние от точки M до прямой d равно |y+p|. Учитывая определение параболы, мы видим, что точка M (x; y) принадлежит параболе с фокусом F и директрисой d тогда и только

134

тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

p

|y + p| = x2 + (y − p)2. (24)

Поскольку обе части уравнения (24) неотрицательны, после возведения обеих его частей в квадрат, получим равносильное урав-

нение

y2 + 2py + p2 = x2 + y2 − 2py + p2,

Итак, выбрав специальным образом систему координат, мы убедились, что точка M (x, y) принадлежит параболе тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению (25). Иными словами, уравнение (25) является уравнением параболы. Отсюда немедленно вытекает

Теорема 6.5. Графиком функции y = ax2 (a 6= 0) является парабола.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = {(x; ax2)|x R} – график данной функции. Поскольку при отрицательном a график G получается из графика функции y = |a|x2 симметрией относительно оси абсцисс, можно считать, что a > 0. Рассмотрим число p = 1/(4a) и введем в рассмотрение точку F (0; p) и прямую d, заданную уравнением y = −p. Обозначим через P параболу с фокусом F и директрисой d. Из приведенных выше вычислений следует, что если M P , то M G. Таким образом, P G. Проверим обратное включение. Предположим, что M (x; y) G. Тогда y = ax2, откуда в силу выбора p имеем x2 = 4py. С учетом последнего равенства имеем

p p

x2 + (y − p)2 = 4py + y2 − 2py + p2 = |y + p|.

Отсюда следует, что любая точка графика G принадлежит параболе P , т. е. G P .

Обратимся к изучению графика функции y = k/x (k 6= 0).

135

Начнем с определения гиперболы.

О п р е д е л е н и е. Пусть F1, F2 – различные точки. Гиперболой называется множество всех таких точек M , что модуль разности расстояний |M F1| и |M F2| есть постоянная величина (рис. 7).

эксцентриситетом гиперболы. Для произвольной точки M числа r1 = |M F1| и r2 = |M F2| называют ее фокальными радиусами.

Пусть |A1A2| = 2a. Из определения вытекает, что точка M принадлежит данной гиперболе тогда и только тогда, когда ее фокальные радиусы удовлетворяют равенству

136

Из равенств (26), (29) вытекает, что фокальные радиусы точки M (x; y), лежащей на гиперболе, удовлетворяют системе

Из первой системы совокупности (31) находим r1 = a + x + y, а из второй системы имеем r1 = −(a + x + y). Таким образом, r1 = |a + x + y|. С учетом равенства (27) получаем

(a + x + y)2 = (x + a)2 + (y + a)2.

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, приходим к урав-

Мы проверили, что координаты точки M (x; y), лежащей на данной гиперболе, удовлетворяют уравнению (32).

Теорема 6.6. Графиком функции y = k/x (k 6= 0) является гипербола.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G = {(x; k/x)|x R, x 6= 0} – гра-

фик данной функции. Предположим сначала, что k > 0. Полагая

√

a = 2k, рассмотрим точки F1(−a; −a), F2(a; a). Обозначим через H гиперболу с фокусами F1, F2 и такую, что фокальные радиусы произвольной ее точки удовлетворяют условию (26). Из приведенных выше вычислений следует, что если M H, то M G. Таким образом, H G.

Проверим обратное включение. Предположим, что M (x; y)G. Тогда y = k/x, откуда xy = k и, значит, 2xy = a2. Поэтому

Аналогично

r22 = (x + y − a)2.

137

Отсюда

Заметим теперь, что в силу равенства 2xy = a2 числа x, y либо оба положительны, либо оба отрицательны. Если x, y > 0, то x + +y + a > 0. Кроме того,

√ √

x + y > 2 xy = a 2 > a,

откуда x + y − a > 0. Стало быть, r1 = x + y + a, r2 = x + y − a, и потому r1 − r2 = 2a. Пусть x, y < 0. Тогда −x, −y > 0, и, значит,

p √ √

(−x) + (−y) > 2 (−x)(−y) = 2 xy = a 2 > a.

Отсюда x + y + a < 0. Ясно, что x + y − a < 0. Поэтому r1 = = −(x + y + a), r2 = a −x −y и r2 −r1 = 2a. Итак, в обоих случаях |r1 − r2| = 2a, и включение G H доказано.

Случай, когда k < 0 рассматривается аналогично предыдуще-

√

му, если положить a = −2k, а в качестве фокусов взять точки

F1(a; −a) и F2(−a; a).

6.8. Преобразования графиков

Иногда построение графиков функций облегчают следующие соображения. Пусть построен график G функции y = f (x), x X. Тогда графики функций y = f (−x), y = f (x + a), y = −f (x), y = f (x)+A могут быть получены из графика G при помощи движений координатной плоскости – симметрий и сдвигов. А именно, справедливо следующее утверждение.

Предложение 6.6. Пусть y = f (x), x X, – произвольная числовая функция, Gf – еe график. Тогда

1. График функции y = f (−x), −x X, получается из Gf симметрией относительно оси Oy;

2. График функции y = f (x + a), x + a X, получается из Gf сдвигом на вектор (−a, 0);

3. График функции y = −f (x), x X, получается из Gf симметрией относительно оси Ox;

4. График функции y = f (x) + A, x X, получается из Gf сдвигом на вектор (0, A).

138

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Пусть h(x) = f (−x), Gh – график функции h. Имеем цепочку равносильных утверждений:

(x, y) Gh y = h(x) y = f (−x) (−x, y) Gf .

Таким образом,

(x, y) Gh (−x, y) Gf .

Поскольку точки (x, y), (−x, y) симметричны относительно оси Oy, фигуры Gh и Gf также симметричны относительно Oy.

2. Пусть h(x) = f (x + a). Тогда

(x, y) Gh y = h(x) y = f (x + a) (x + a, y) Gf .

Следовательно,

(x, y) Gh (x + a, y) Gf .

Пусть x0 = x + a, x = x0 − a, откуда получаем

(x0, y) Gf (x0 − a, y) Gh.

Так как точка (x0 − a, y) получается из точки (x0, y) сдвигом на вектор (−a, 0), то же самое справедливо и для множеств точек Gf и Gh.

Проверка пунктов 3, 4 проводится аналогично и предоставляется читателю.

В дополнение к предложению 6.6 сформулируем

Предложение 6.7. Пусть y = f (x), x X, – произвольная числовая функция, G – еe график. Тогда

1. График функции y = f (|x|), |x| X, является объединением двух множеств G1 и G2, где G1 – это часть G1, расположенная справа от оси ординат, а G2 симметрично G1 относительно оси

Oy;

2. График функции y = |f (x)|, x X, является объединением двух множеств G3 и G4, где G3 – это часть Gf , расположенная выше оси абсцисс, а G4 симметрично относительно Ox множеству точек графика Gf , лежащих ниже оси Ox.

139