Расин, Алгебра

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Снимая модуль в выражении f (|x|), получим

Множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих первой системе, есть G1, второй системе – G2.

Множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих первой системе, есть G3, второй системе – G4.

Применим предложения 6.6, 6.7 для построения графика функции y = |||x| − 1| − 3|.

Рассмотрим последовательность выражений:

f1(x) = |x|, f2(x) = |x −3|, f3(x) = ||x|−3|, f4(x) = ||x −1|−3|, f5(x) = |||x| − 1| − 3|.

Ясно, что y = f5(x) – исходная функция; график функции y = f1(x) легко построить и график функции y = fi+1(x) получается из графика функции y = fi(x) при i = 2, 4, 6 по пункту 2 предложения 6.6, а при i = 3, 5 по пункту 1 предложения 6.7. Читателю рекомендуется самостоятельно построить графики функций y = fi(x) при 1 6 i 6 5. График функции y = |||x| − 1| − 3| показан на рис. 9.

140

6.9.Графики дробно-линейной и квадратичной функций

Дробно-линейная функция – это функция y = axcx ++ db, c 6=

6= 0, bc − ad 6= 0. Функция y = xk (обратно пропорциональ-

ная зависимость) является, очевидно, дробно-линейной функцией; график этой функции – гипербола, лежащая в первом и третьем квадрантах при k > 0 и во втором и четвeртом квадрантах при k < 0. Убедимся, что график произвольной дробно-линейной

функции может быть получен из графика функции y = xk при помощи сдвигов вдоль осей координат. Для этого преобразуем

выражение y = axcx ++ db. Пусть B = dc ( 6= 0). Тогда cx + d = = c(x + B). Выделяя в числителе выражение x + B, получим

ax + b = a(x + B) + b − aB. Отсюда

Таким образом, дробно-линейная функция y = ax + b может cx + d

быть записана в виде

k

y = A + x + B .

Заметим, что из неравенства bc − ad 6= 0 следует, что k 6= 0. Из пунктов 2, 4 предложения 4 (см.ниже) вытекает, что гра-

сдвигом на вектор (−B; 0), а затем – на вектор (0; A). Квадратичная функция – это функция y = ax2 + bx + c, a 6= 0.

График такой функции может быть получен из графика функции

141

y = ax2 при помощи сдвигов вдоль осей координат. В самом деле, выделяя полный квадрат в выражении ax2 + bx + c, получим

Поскольку D = b2 − 4ac – дискриминант квадратного трeхчлена,

Таким образом, квадратичная функция y = ax2 + bx + c может

Преобразуя выражения, определяющие данные функции,

142

Рис. 10 Рис. 11

Отсюда видно, что график функции y = 3x − 2 получается из

2x − 4

графика функции y = x2 при помощи сдвигов на векторы (2; 0) и

(0; 3/2) (рис. 10), а график функции y = −x2 + 4x −3 может быть получен из графика функции y = −x2 сдвигами на векторы (2; 0) и (0; 1) (рис. 11).

Рассмотрим несколько задач на построение графиков функций.

1. y = x3 − 3x2 − x + 3.

|x − 1|

Естественная область определения этой функции – множество (−∞; 1) (1; +∞). Учитывая, что x3 − 3x2 − x + 3 = = (x − 1)(x2 − 2x − 3), и снимая модуль, получим

График этой функции представлен на рис. 12.

2. y = |x2 − 3|x| + 2|. x2 − 4

Естественная область определения этой функции – множество R \ {−2, 2}. Нетрудно видеть, что данная функция является четной, поэтому достаточно построить ее график на луче [0; +∞), а затем сделать симметрию относительно оси ординат. Снимая мо-

143

6.10.Графики линейных уравнений и неравенств с двумя переменными

Пусть F (x, y) – произвольное алгебраическое выражение, зависящее от переменных x, y. Графиком уравнения F (x, y) = 0 называется множество

{(x; y)|F (x, y) = 0}.

Аналогично определяются графики неравенств с двумя переменными.

144

Вэтом пункте рассматриваются графики линейных уравнений

инеравенств с двумя переменными.

Теорема 6.7. Графиком линейного уравнения ax + by + c = 0 (a2 + b2 6= 0) является прямая. Обратно, всякая прямая на координатной плоскости является графиком некоторого линейного уравнения с двумя переменными.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G – график уравнения ax + by + +c = 0 при условии a2 + b2 6= 0. Если b = 0, то a 6= 0, и данное уравнение преобразуется к виду

x = −ac .

Ясно, что множество G в этом случае является прямой, параллельной оси ординат. Пусть b 6= 0. Тогда G совпадает с графиком линейной функции

и потому является прямой.

Доказательство обратного утверждения мы оставляем читателю.

Пусть прямая l служит графиком линейного уравнения ax + +by + c = 0 (a2 + b2 6= 0). С прямой l можно связать два век-

кулярен прямой l. В самом деле, если M1(x1; y1), M2(x2; y2) – различные точки прямой l, то ax1 + by1 + c = 0 и ax2 + by2 + c = 0. Вычитая одно равенство из другого, получим

a(x2 − x1) + b(y2 − y1) = 0.

−→

вектору n , и потому он параллелен прямой l.

Построение графиков линейных неравенств с двумя переменными основывается на следующем утверждении.

145

Теорема 6.8. Прямая l, заданная уравнением ax + by + c = = 0 (a2 + b2 6= 0), делит координатную плоскость на две полуплоскости так, что во всех точках одной полуплоскости выражение ax+by+c принимает только положительные значения, а во всех точках другой полуплоскости – только отрицательные.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольной точки M (x; y), не лежащей на прямой l, обозначим через M0(x0; y0) основание перпен-

146

Список литературы

[1]Коровкин П.П. Неравенства. (Попул. лекции по математике). M., Наука, 1983.

[2]Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика: Элементарный очерк идей и методов. М., Просвещение, 1967.

[3]Оре О. Приглашение в теорию чисел. (Б-чка “Квант”), M., Наука, 1980.

[4]Расин В.В. Действительные числа. Екатеринбург: УрГУ, 1998.

[5]Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. М., Физматгиз, 1963.

[6]Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. М., Просвещение, 1968.

[7]Соминский И.С. Метод математической индукции. (Попул. лекции по математике). M., Наука, 1974.

[8]Школа в “Кванте”: Арифметика и алгебра / Под ред. А.А.Егорова. М.: Бюро квантум, 1994.

147