Задание № 7 (Лист № 4)

Эта задача является основой для решения большинства задач на нахождение пересечений геометрических объектов.

Если прямая не принадлежит плоскости и не параллельна ей, то она пересекает данную плоскость.

Плоскость, заданная треугольником ABC, является плоскостью общего положения. Точка пересечения прямой с плоскостью определяется с помощью вспомогательной секущей плоскости. Для построения точки пересечения Р прямой линии (EK) с плоскостьюABCнеобходимо:

1. провести через прямую (EK) вспомогательную проецирующую плоскость, в данном примере на листе № 4 проводим горизонтально проецирующую плоскость (ГПП);

2. построить линию (1-2) пересечения заданной плоскости и вспомогательной ГПП;

3. определить искомую точку Pкак точку пересечения прямой (EK) с линией (1-2).

Провести через прямую горизонтально проецирующую плоскость -это совместить горизонтальный след плоскости с горизонтальной проекцией прямой. Провести через прямую фронтально проецирующую прямую - это совместить фронтальный след плоскости с фронтальной проекцией прямой.

Линия пересечения произвольной плоскости с проецирующей плоскостью находится по двум точкам. Эти точки строятся как пересечения с проецирующей плоскостью двух любых прямых, выбранных в произвольной плоскости.

Горизонтальная проекция точки пересечения прямой с горизонтально проецирующей плоскостью лежит на пересечении горизонтального следа плоскости с горизонтальной проекцией прямой. Фронтальная проекция точки пересечения находится на пересечении ее линии связи с фронтальной проекцией прямой. Аналогично находится точка пересечения любой прямой с фронтально проецирующей плоскостью.

Видимость прямой, пересекающей плоскость треугольника, определяют путем сопоставления взаимного положения точек прямой и сторон треугольника, совпадающих на проекциях (точки мнимого пересечения).

Задание № 8 (Лист № 4)

Для построения линии пересечения плоскостей нужно определить две точки этой прямой. Необходимо дважды решить задачу из задания № 7. Плоскость, заданную треугольником EKM, можно рассматривать как набор прямых линий. Например: (EK) и (EM). Строим точку пересечения прямой (ЕК) с плоскостью треугольника АВС и точку пересечения прямой (ЕМ) с той же плоскостью. Соединив построенные точки, получим линию пересечения плоскостей.

Тот же результат получим, если будем искать точки пересечения прямых (АВ) и (СА) с плоскостью треугольника ЕКМ. Возможны любые комбинации.

- 15 -

Лист№ 4

Задание № 7

По заданным координатам построить проекции треугольника АВС и прямой ЕК. Найти точку пересечения прямой с непрозрачной плоскостью АВС. Определить видимые участки прямой.

Координаты

№ А В С Е К

X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z

1 65 43 18 5 37 48 35 20 8 72 15 52 7 55 5

2 68 50 10 60 22 40 2 12 22 93 25 10 6 45 44

3 52 16 17 13 55 57 34 8 5 80 6 42 11 38 20

4 69 43 19 16 38 47 33 19 8 71 15 52 7 54 5

5 66 50 9 61 21 39 11 11 21 92 24 9 6 44 44

6 51 15 16 13 54 56 33 8 5 80 6 41 11 37 20

7 62 41 19 14 36 47 35 19 8 70 15 50 7 54 2

8 67 42 19 14 36 47 34 19 9 71 14 51 7 54 5

9 67 58 0 60 22 40 13 13 22 92 25 10 7 46 44

10 62 42 17 14 36 47 34 20 8 71 15 51 7 54 5

11 50 15 16 13 54 56 33 8 5 79 6 41 11 38 20

12 66 44 19 14 36 47 33 19 7 70 15 50 7 55 6

13 64 42 18 15 37 48 35 20 8 72 15 52 7 55 5

14 67 49 9 60 21 40 12 11 22 93 25 10 6 45 44

15 51 16 16 13 55 57 34 8 5 80 6 42 11 38 20

16 61 40 19 14 36 47 35 18 8 70 15 50 7 55 5

17 66 44 17 15 37 48 35 20 8 72 15 52 7 55 5

18 69 59 10 60 22 40 13 13 22 93 25 10 6 45 44

19 50 16 17 13 55 57 34 8 5 80 6 42 11 38 20

20 64 42 17 15 36 47 34 20 8 72 15 51 7 54 5

21 52 17 17 14 54 56 34 8 5 80 6 41 10 37 19

22 69 51 11 61 23 39 13 13 23 92 24 10 6 44 44

23 65 45 19 16 35 50 35 20 7 70 15 50 7 55 5

24 67 42 19 16 37 46 34 19 8 70 15 52 7 53 6

25 54 17 17 12 54 56 33 7 6 79 6 41 11 37 19

26 51 17 15 14 56 56 33 8 5 79 6 4 11 38 20

27 67 59 9 59 22 40 11 11 21 93 24 10 6 44 44

28 50 14 17 13 56 56 33 8 5 79 6 41 10 38 20

29 54 17 19 14 53 17 7 7 34 6 41 70 37 19 7

30 66 43 20 14 36 47 34 19 9 71 14 51 7 54 5

- 16 -

Лист№ 4

Задание № 8

Найти линию пересечения плоскостей, заданных треугольниками

АВС и ЕКМ.

Координаты

А В С Е К М

N

Вар. X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z

1 66 50 9 61 21 39 11 11 21 92 24 9 6 44 44 11 30 20

2 51 15 16 13 54 56 33 8 5 80 6 41 11 37 20 14 25 5

3 62 41 19 14 36 47 35 19 8 70 15 50 7 54 2 11 37 15

4 67 42 19 14 36 47 34 19 9 71 14 51 7 54 5 15 37 25

5 67 58 10 60 22 40 13 13 22 92 25 10 7 46 44 4 25 20

6 62 42 17 14 36 47 34 20 87 1 15 51 7 54 5 74 35 35

7 50 15 16 13 54 56 33 8 5 79 6 41 11 38 20 7 15 44

8 66 44 19 14 36 47 33 19 7 70 15 50 7 55 6 3 25 38

9 64 42 18 15 37 48 35 20 8 72 15 52 7 55 5 3 25 40

10 67 49 9 60 21 40 12 11 22 93 25 10 6 45 44 11 15 22

11 51 16 16 13 55 57 34 8 5 80 6 42 11 38 20 5 10 3

12 61 40 19 14 36 47 35 18 8 70 15 50 7 55 5 11 25 35

13 66 44 17 15 37 48 35 20 8 72 15 52 7 55 5 4 25 25

14 69 59 10 60 22 40 13 13 22 93 25 10 6 45 44 15 15 20

15 50 16 17 13 55 57 34 8 5 80 6 42 11 38 20 5 15 45

16 64 42 17 15 36 47 34 20 8 72 15 51 7 54 5 15 28 35

17 52 17 17 14 54 56 34 8 5 80 6 41 10 37 19 15 22 50

18 69 51 11 61 23 39 13 13 23 92 24 10 6 44 44 10 15 20

19 65 45 19 16 35 50 35 20 7 70 15 50 7 55 5 3 35 40

20 67 42 19 16 37 46 34 19 8 70 15 52 7 53 6 3 25 30

21 54 17 17 12 54 56 33 7 6 79 6 41 11 37 19 5 10 45

22 51 17 15 14 56 56 33 8 5 79 6 4 11 38 20 5 10 48

23 67 59 9 59 22 40 11 11 21 93 24 10 6 44 44 15 25 20

24 50 14 17 13 56 56 33 8 5 79 6 41 10 38 20 5 15 40

25 54 17 19 14 53 17 7 7 34 37 19 7 6 41 70 10 20 30

26 66 43 20 14 36 47 34 19 9 71 14 51 7 54 5 3 25 50

27 65 43 18 5 37 48 35 20 8 72 15 52 7 55 5 10 25 39

28 8 50 10 60 22 40 2 12 22 93 25 10 6 45 44 15 15 15

29 52 16 17 13 ¦55 57 34 8 5 80 6 42 11 38 20 6 10 50

30 69 43 19 16 38 47 33 19 8 71 15 52 7 54 5 15 25 45

• 17 –

-18-