Экстремумы функции многих переменных

Для нахождения локальных или глобальных экстремумов используются те же функции Minimize и Maximize. Сложность заключается в выборе начальной точки и указании области, в которой ищется экстремум. Если для функции двух переменных еще можно построить график и по нему попытаться определить положение локального экстремума, то для функции трех и более переменных уже нельзя использовать геометрическое представление. Рассмотрим сначала случай функции двух переменных, а именно выясним, как по графику грубо определить положение экстремума.

Во-первых, нужно задать функцию. Возьмем функцию . Вызовем панельGraph. Построим график функции. Он изображен на рис.18. По рисунку видно, что минимумов несколько. Однако по рисунку их положение определить сложно.

Значительно больше информации получим, построив линии уровня функции. Это тоже можно сделать с помощью системы МС. Нажмем на панелиGraph кнопку с изображением линий уровня. Возникнет шаблон, как и при построении графика. Впишем в шаблон имя функции и щелкнем мышью за пределами блока. Результат дан на рис. 44.

Экстремумы функции будут находиться внутри самых маленьких замкнутых кривых. Полученный чертеж можно улучшить. Во-первых, на линиях уровня можно указать значение функции. Для этого нужно вызвать окно форматирования, вкладкуSpecial и на ней установить флажок Numbered. Результат – на рис. 45. Полученное изображение можно заполнить цветом, причем цвет будет соответствовать значению функции в точке. Соответствие цвета и величины значения такое же, как и на графике.

Для заполнения цветом нужно вызвать окно форматирования, выбрать вкладку Special и поставить флажок Fill. Чтобы не убирать окно форматирования, можно вместо клавиши OK нажать клавишу «Применить».

Можно сделать линии уровня более гладкими. Для этого в окне форматирования нужно вызвать вкладкуQuickPlot Data и заполнить позиции start, end, # of Grids. В нашем случае в столбце Range 1 поставим start − 4, end 4, # of Grids 40 и аналогично в столбце Range 2. То, что получится, изображено на рис. 46. На рис. 45, 46 видим, что один локальный экстремум нужно искать в области ,, а второй – в области,, третий в области. По цвету видно, что максимальные значения находятся в угловых точках области.

Для нахождения одной из точек локального минимума зададим начальное приближение и сформируем вычислительный блок:

given

Получили, что первой точкой локального минимума является точка (− 0.487; 0).

given

Видим, что вторая точка локального минимума − это точка (1.461; 0). Значение функции в ней больше, чем в предыдущей точке. Таким образом, предыдущая точка является точкой глобального минимума. При желании можете найти третью точку локального минимума и убедиться, что в ней значение функции еще больше.

Найдем теперь точки максимума:

given

Получили результат, который противоречит графику. Проверим, вычисляя значение функции: ,. Действительно, система выдала ошибку, указав седловую точку в качестве точки максимума. Изменим начальное значение в соответствии с расцветкой графика:

given

.

Теперь результат соответствует действительности. Эта точка похожа на точку локального максимума. Однако проверим еще один угол нашей области:

given

.

Таким образом, наибольшее значение функции в области достигается в точке (−4; 4).

Заметим, что функция является четной по переменномуy, поэтому то, что в точках минимума y = 0, можно было предсказать заранее, значение функции в точках (−4; −4) и (4; −4) можно не исследовать.

Из рассмотренного выше следует вывод, что если мы не можем ориентировочно предсказать точку экстремума, то стоит в качестве начальных данных для блока given взять несколько различных точек. Кроме того, желательно найденный результат проверить каким-либо способом, хотя бы небольшими сдвигами: действительно ли это точка экстремума или это седловая точка?

Теперь рассмотрим пример на нахождение экстремума функции четырех переменных.

Требуется найти наибольшее и наименьшее значение

функции K(x) в области ,,,.

Пусть

.

Установим нумерацию индексов, начиная с 1, и возьмем в качестве начального приближения начало координат.

given

.

given

.

.

Попробуйте изменять начальную точку. Для этого достаточно изменять координаты в уже существующем блоке присвоения значения векторной переменной x. Возьмите, например, точки ,,. Вы увидите, что ответы не меняются. Поэтому можно считать, что минимум функции достигается в точке, а максимум – в точке.

Заканчивая тему об экстремумах функции, следует отметить, что функции Minimize и Maximize автоматически выбирают алгоритм поиска экстремума. Однако алгоритм можно выбрать и самостоятельно из списка алгоритмов, используемых системой МС. Точность нахождения точки экстремума регулируется системными переменными CTOL и TOL.