УчебПособие (Теория надежности)2011

большинстве случаев новый процесс уже не будет Марковским, потому что продолжительности пребывания системы в совокупных состояниях, вообще говоря, распределены не по экспоненциальному закону.

Новый процесс останется Марковским только при удовлетворении условия объединяемости – условия, при котором интенсивности перехода к любому другому состоянию или к группе объединенных состояний одинакова для всех состояний, входящих в рассматриваемую группу. При выполнении этого условия можно рассчитать вероятности нахождения системы в любом состоянии не только для стационарных, но и для нестационарных процессов.

Поясним сказанное выше на примере объединения двух состояний системы в одно (рис. 5.4).

Процесс останется Марковским, то есть интенсивности переходов q6 1, q6 2, и q6 3 останутся независимыми от времени при

выполнении следующих условий: q4 1 = q5 1, q4 2 = q5 2, и q4 3 = = q5 3. При этом неважно, равны или нет интенсивности q4 1, q4 2 и

q4 3.

Выведем формулы для вычисления вероятностей и частоты возникновения совокупных состояний. Рассмотрим схему (рис. 5.5), в которой несколько состояний j объединены в одно совокупное состояние J.

Вероятность состояния J, обозначаемая PJ, равна сумме всех вероятностей Pj:

Вероятности Pj можно складывать, так как события, заключающиеся в том, что система находится в одном из состояний j, взаимоисключающие. Частота возникновения состояний J, обозначаемая J, равна сумме всех частот перехода из состояния j в состояние i, находящееся вне J:

где при втором преобразовании была выполнена подстановка по формуле (5.8).

Чтобы найти решение, используя пространство состояний, получившееся после объединения состояний j, необходимо знать обозначенные на рис. 5.5 интенсивности переходов qi J и qJ i. Их можно вычислить, исходя из того, что частота переходов от i к J должна быть такой же, как частота переходов от i ко всем состояниям j

72

до их объединения, и аналогично для переходов от J к i. Согласно (5.8) эти требования можно представить как

Если удовлетворены условия объединяемости, то есть если qj i одинаковы для всех j, то уравнение (5.16) упрощается:

Рис. 5.4. Объединение состояний 4 и 5 в состояние 6 при условии, что процесс должен остаться Марковским

J

Рис. 5.5. Объединение состояний j в совокупное состояние J

73

В заключение найдем интенсивность переходов между двумя совокупными состояниями I и J, каждое из которых состоит из нескольких исходных состояний (естественно непересекающихся). Схематически такая система изображена на рис. 5.6; согласно уравнениям (5.15) и (5.16) эти интенсивности равны:

Рис. 5.6. Переходы между двумя совокупными состояниями

Пример 1. Рассмотрим пространство состояний дублированной системы с неявным резервированием при ограниченном аварийном ремонте (возможен только их последовательный ремонт). Предположим, что оба элемента имеют одинаковую интенсивность отказов и восстановления . Пространство состояний тогда приобретает вид, показанный на рис. 5.7, а. После объединения двух состояний, характеризуемых отказом одного элемента в состоянии А, и двух состояний, характеризуемых отказом двух элементов в состоянии В, получается диаграмма пространства состояний, изображенная на рис. 5.7, б.

Легко убедиться в том, что при этом объединении состояний условия объединяемости удовлетворяются.

Для состояния А:

q1 0 q2 0 и q1 В q2 В – условие объединяемости выполняется.

74

упрощенной диаграмме, например тот факт, что одни ремонты элементов могут выполняться лишь последовательно, становится неразличимым.

Иногда может оказаться целесообразным объединить состояния, если даже условия объединяемости и не выполняются. В этих случаях уравнения, получаемые из диаграммы после объединения состояний, не могут быть использованы для определения неустановившихся значений вероятностей состояний. Несмотря на это, асимптотические значения вероятности состояний и частоты возникновения состояний вычисляются верно.

Пример 2. Рассмотрим пространство состояний, изображенное на рис. 5.7, а. Если объединить состояния 3 и 4, но не объединять состояния 1 и 2, то получится схема, изображенная на рис. 5.8.

Рис. 5.8. Объединение состояний, отвечающий отказу двух элементов (рис. 5.7, а)

При таком объединении условия объединяемости не выполняются:

(q3 2 ) (q4 2 0) и (q3 1 0) (q4 1 ) .

Но, несмотря на это, асимптотические значения вероятности состояний вычисляются верно. Интенсивности переходов для диаграммы, изображенной на рис. 5.9, находятся следующим образом.

76

Согласно выражению (5.15)

q1 B q2 B .

Причем вероятности сокращаются из соображений симметрии, так как P3=P4. Аналогично

Пример 3. Временная диаграмма состояний системы, которая может находиться в пяти состояниях, представлена на рис. 5.9.

S

S5

S4

S3

Известно следующее:

-продолжительность пребывания системы в каждом из состояний подчинена экспоненциальному закону;

-средняя продолжительность пребывания системы в каждом из состояний:

аварийного ремонта; S5 – состояние планово-предупредительного ремонта.

Задание:

1. Составить диаграмму пространства состояний по данной временной диаграмме состояний системы.

Определить:

- частоту появления каждого из состояний ( 1, 2, 3, 4, 5);

77

-вероятность нахождения системы в каждом из пяти состояний

встационарном режиме работы (P1( ), P2( ), P3( ), P4( ), P5( ));

-интенсивности переходов из состояния в состояние (q1 2, q1 3,

q3 2, q4 5 и т. д. – год-1).

2. Составить диаграмму пространства состояний для данной

системы, которая имеет три состояния: S5, S6, S7. Определить с помощью этой диаграммы вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии, состоянии аварийного ремонта и в состоянии планово-предупредительного ремонта для установившегося (стационарного) процесса.

Решение:

Составим диаграмму пространства состояний по данной временной диаграмме состояний системы (рис 5.10).

q1 5 t

S2

q5 2 t

q2 5 t S5

Рис. . 5.10. Диаграмма пространства состояний системы

78

Определим частоту появления каждого из состояний.

n

i i j ; j 1

1 1 2 1 3 1 5 4 3 2 9 ;2 2 1 2 3 2 5 9 6 2 17 ;3 3 2 3 4 6 3 9 ;4 4 2 3 ;5 5 2 4 .

Определим вероятности нахождения системы в каждом из пяти состояний в стационарном режиме работы.

Определим интенсивности переходов из состояния в состояние.

qi j ( ) i j .

P ( ) i

q2 q2 1 q2 3 q2 5 46,392 30,928 10,309 87,629 год-1.

q3 q3 2 q3 4 117,647 58,824 176, 471 год-1.

q4 8760 8760 43,8 год-1; t4 200

q4 q4 2 44,118 год-1.

80