УчебПособие (Теория надежности)2011

Составим диаграмму пространства состояний для данной системы, которая имеет три состояния: S5, S6, S7 (рис 5.11).

1 q7 6 t

q6 5 t

q5 6 t

1 q5 6 t

S5

Рис. 5.11. Диаграмма пространства состояний системы

Определим интенсивности переходов из состояния в состояние.

81

Определим вероятности нахождения системы в каждом из трех состояний в стационарном режиме работы.

Система уравнений Чемпена – Колмогорова:

Подставив в полученную систему уравнений значения интенсивностей переходов из состояния в состояние, определим вероятности нахождения системы в состояниях S5, S6 и S7.

Вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии для стационарном режиме работы равна P6( ) = 0,709, в состоянии аварийного ремонта – P7( ) = 0,119 и в состоянии плановопредупредительного ремонта – P5( ) = 0,172.

Ответ:

1. 1 = 9 год-1; 2 = 17 год-1; 3 = 9 год-1; 4 = 3 год-1; 5 = 4 год-1;

82

q1 2 = q1 3 = q1 4 = q1 5 = q2 1 = q2 3 = q2 4 = q2 5 = q3 1 = q3 2

=q3 4 = q3 5 = q4 1 = q4 2 = q4 3 = q4 5 = q5 1 = q5 2 = q5 3 = q5 4 =

=2 год-1;

-S1 S2 S5=S6 – работоспособное состояние; S3 S4=S7 – неработоспособное состояние;

-в начальный момент времени система находится в состоянии S1.

Задание:

Преобразовав исходную диаграмму пространства состояний

вдиаграмму с двумя состояниями, определить:

1)вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,1 года;

2)вероятность безотказной работы в момент времени t = 0,5

года.

Решение:

1. Определение вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,1года.

Преобразуем исходную диаграмму пространства состояний в диаграмму с двумя состояниями (рис. 5.13).

1 q7 6 t

1 q6 7 t

Рис. 5.13. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,1 года

На рис. 5.13 S6 – работоспособное, а S7 – неработоспособное состояния системы.

Определим интенсивности переходов из состояния в состояние.

84

Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки и определим P6РС(t = 0,1).

Уравнения Чемпена – Колмогорова:

Из первого уравнения найдем P6(t) методом разделения переменных:

85

P1(t = 0) = P6РС(t = 0) = 1. Первого частного решения не существует. Второе частное решение находится следующим образом:

решение.

Вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент времени t = 0,1 года равна

2. Определение вероятности безотказной работы в момент времени t = 0,5 года.

Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятности безотказной работы в момент времени t = 0,5 года.

При определении вероятности безотказной работы системы принимают, что восстановление работоспособности системы из неработоспособного состояния невозможно. Диаграмма пространства состояний в этом случае выглядит следующим образом (рис. 5.14):

1 q6 7 t

Рис. 5.14. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности безотказной работы системы в момент времени t = 0,5 года

На рис. 5.14 S6 – работоспособное, а S7 – неработоспособное состояния системы, q6 7 = 4год-1.

Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки и определим P7БР(t = 0,5 лет).

87

Так как при одной неизвестной имеем одно уравнение, то условие нормировки можно не использовать.

P6БР (t) q6 7 P6БР (t);

t

P6БР (t) q6 7 t;

P6БР (t)

P6БР (t) q6 7 t;

P6БР (t)

ln P6БР (t) q6 7 t C;

P6БР (t) e q6 7 t C .

В этом случае уравнение имеет два решения: - первое общее решение:

P (t) е q6 7 t C ;

6БР

- второе общее решение:

вероятность должна быть положительной).

Найдем частное решение, используя начальные условия

P1(t = 0) = P6БР(t = 0) = 1:

Вероятность безотказной работы в момент времени t = 0,5 лет:

P (0,5) е 4 0,5 0,135.

6БР

Ответ:

1.Р6РС (2) 0,747 ;

2.P (0,5) 0,135.

6БР

Пример 5. Два одинаковых объекта (А, В) образуют дублированную систему с резервированием замещением и

88

ограниченным аварийным ремонтом. Планово-предупредительные ремонты на объектах не проводятся.

Известно следующее:

-объекты имеют независящие от времени интенсивности

переходов: интенсивности отказов: λА = λВ = λ = 2 год-1; интенсивности восстановления из аварийного ремонта: μАР,А = μАР,В = µАР = 10 год-1;

-в начальный момент времени система находится в состоянии S1.

Задание:

1)Определить для стационарного режима работы: вероятность работоспособного состояния (РС), вероятность неработоспособного состояния (НС) и вероятность промежуточного состояния (ПС) системы, в котором один из элементов находится в работоспособном, а другой – в неработоспособном состоянии.

2)Составить диаграмму пространства состояний и систему уравнений Чемпена – Колмогорова с условием нормировки для определения вероятности безотказной работы системы.

Решение:

Составим диаграмму пространства состояний для определения вероятностей нахождения системы в работоспособном PРС( ), неработоспособном PНС( ) и промежуточном PПС( ) состояниях (рис.

5.15).

1 t 1 ( АР ) t 1 АР t

Рис. 5.15. Диаграмма пространства состояний для определения вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии (дублированная система с резервированием замещением и ограниченным аварийным ремонтом)

89

Здесь приняты следующие обозначения: а, b – рабочие

состояния объектов А или В; a , b – неработоспособные состояния А или В (в этом состоянии на объекте проводится аварийный ремонт либо объект ожидает его начала); a, b − режим ожидания объекта А или В.

Система может находиться в шести состояниях: S1 = a b – состояние, в котором А находится в рабочем состоянии, а B – в режиме ожидания; S2 = a b – состояние, в котором B находится в рабочем

состояние, в котором B находится в неработоспособном состоянии (состоянии аварийного ремонта), а A – в рабочем состоянии;

S5 a b – состояние, в котором система находится в

неработоспособном состоянии. При этом на объекте A производится аварийный ремонт, так как он раньше отказал. Объект B подвергнется

аварийному ремонту после окончания работ на объекте А; S6 b a –

состояние, в котором система находится в неработоспособном состоянии. При этом на объекте B производится аварийный ремонт, так как он раньше отказал. Объект A подвергнется аварийному ремонту после окончания работ на объекте B.

При этом

PПС ( ) P2 ( ) P4 ( );

PНС ( ) P5 ( ) P6 ( ).

Составим систему дифференциальных уравнений Чемпена – Колмогорова с учетом условия нормировки для стационарного режима и определим вероятности нахождения системы в работоспособном РРС(∞), неработоспособном РНС(∞) и промежуточном РПС(∞) состояниях.

90