§ 7. Производные высших порядков

Пусть функция y = f(x), x(a,b), дифференци­руема во всей области ее определения. Производная y' = f'(x), вообще говоря, также является функцией от х. Производная от функции у' = f (х) (от первой про­изводной), если она существует, называется производ­ной второго порядка или второй производной функции y=f(x) и обозначается у", f"(x), .Таким образом,

, .

Пример 1. Найти вторую производную функции

у = х⁵ — 2х³ + х — 3.

Решение. Находим

=(х⁵_-2х³ + х-3)' = 5х⁴ — 6х² +1,

затем

= = (5х⁴ — 6х² + 1)' = 20х³-12х.

Производная от второй производной функции у =f(x), если она существует, называется производной третьего порядка или третьей производной:

,

Производной п-го порядка (или п-й производной) функции у = f(x) называется производная от произвдной (п—1)-порядка:

.

Пример 2. Найти производную n-го порядка функ­ции

Решение, у' = (e^kx)' = ke^kx; у" = (ke^kx)' = k²e^kx; у'" = (k²e^kx)' = k³e^kx. Вообще,

.

§ 8. Возрастание и убывание функции. Признаки возрастания и убывания функции

Определение 1. Функция y = f(x), х]а; b[, называется возрастающей на интервале ]а; b[, если для любых и , принадлежащих этому интервалу,

x₂>x_l=f(x₂)>f(x_l).

Определение 2. Функция y = f(x), x]a; b[, называется убывающей на интервале ]а; b[, если для любых и х₂, принадлежащих этому интервалу,

х₂> x_l=f{x₂) <f(xd.

Определение 3. Функция y=f(x), x]a; b[, называется неубывающей (невозрастающей) на интер­вале ]а; b[, если для любых и х₂, принадлежащих этому интервалу,

Напомним, что интервалы, в которых функция либо только возрастает (не убывает), либо только убывает (не возрастает), называются интервалами строгой мо­нотонности (интервалами монотонности).

Необходимые условия монотонности функции на ин­тервале дают следующие теоремы.

Теорема 1 (необходимое условие возрастания функции). Если дифференцируемая функция у = f(x), х ]а; b[, возрастает на интервале ]а; b[, то для любого х₀ .

Доказательство. Из определения (1) имеем:

т. е. f' (х₀)0, что и требовалось доказать.

Теорема 2 (необходимое условие убывания функ­ции). Если дифференцируемая функция y = f(x), x ] а; b[, убывает на интервале ]а; b[, то f'(xo)для любого х₀ ]а; b[.

Доказательство этой теоремы аналогично предыду­щей.

Теоремы, дающие достаточные признаки монотонности функции, доказываются в школьном курсе, поэтому мы приводим лишь их формулировку.

Теорема 3 (достаточное условие возрастания функции). Если функция y = f(x), х ]а; b[, имеет положительную производную в каждой точке интер­вала ]а; b[, то эта функция возрастает на интервале

]а; b[.

Короче, если , то функцияf(x) возрастает на интервале ]а; b[.

Теорема 4 (достаточное условие убывания функ­ции). Если функция у = f(x), x]a;b[, имеет отрица тельную производную в каждой точке интервала ] a; b [, то эта функция убывает на интервале ]а; b[.

Короче, если , то функцияf(x) убывает на интервале ]а; b[.

Заметим, что если функция f(x) монотонна на ин­тервале ]а; b[ и непрерывна в точках а и b, то она монотонна на отрезке [а; b].

Пример. Найти интервалы монотонности функции

f(x)=x³-4x + 2.

Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей действительной прямой. Находим производную: f^/(x) = x²-4. Очевидно, что f'(x)>0 при х² - 4 > 0 х₂ > 4 |х| > 2,

Таким образом, данная функция возрастает на мно­жестве ]-; -2[]2; +[ и убывает на интервале ]-2;2[.