§ 14. Общая схема исследования функций и построения графиков

С учетом изложенного в настоящей главе можно рекомендовать следующую схему исследования функции в построения ее графика:

1)найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность и нечетность;

3) исследовать функцию на периодичность;

4) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;

5) найти критические точки первого рода;

6) найти интервалы монотонности и экстремумы функции;

7) найти критические точки второго рода;

8) найти интервалы выпуклости и точки перегиба;

9) найти асимптоты графика функции;

10) найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно);

11) построить график функции.

Пример 1. Построить график функции

.

Решение. 1) Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек х = -2 и х = 2.

2. Функция нечетна, так как

.

3) Функция непериодическая.

4) Функция непрерывна во всей области ее определения. Точки х = -2 и х = 2 являются точками раз­рыва.

5) Находим

.

Очевидно, что f'(x) = O при x = 0 и x=±2. Крометого, f'(x) не существует при х = ±2. Следовательно, f(x) имеет следующие критические точки первого рода:

.

6) Методом пробных точек определяем знак про_из« водной в каждом из интервалов: ,(рис. 15).

Следовательно, функция f (x) в интервалах -возрастает,а в интервалах - убывает.

В точке функция имеет максимум, а в точке-минимум. Так как при переходе

Рис 15

через критическую точку х₃ = 0 производная не меняет знак, то в этой точке экстремума нет. Имеем:

и

7) Находим

Так как f " (х) = 0 при х = 0 и f "(x) не существует при x = ±2, то х₂ = -2, х₃ = 0 и x₄ = 2 являются крити­ческими точками второго рода.

8) Определяем знак вто­рой производной f"(x) в ка­ждом из интервалов ]-; -2[, ]-2; 0[, ]0; 2[ и ]2; +[ (рис. 16).

Рис. 16

Мы видим, что в интерва­лах ]- ; -2[ и ]0; 2[ гра­фик функции обращен выпук­лостью вверх, а в интервалах]-2; 0[ и ]2; +[— выпук­лостью вниз. Вторая произ­водная меняет свой знак в ка­ждой из критических точек второго рода, однако точких=2 не принадлежат области определения функций и поэтому лишь точка х = 0 является точкой перегиба. Имеем f(0) = 0, следовательно, точкой перегиба являет­ся начало координат.

9) Так как

и

то х = -2 и x = 2 являются вертикальными асимптотами. Далее, находим:

Следовательно, у = х является наклонной асимптотой

Результаты исследования заносим в таблицу 4.

Таблица 4

По полученным данным строим график функции (рис. 17).

Рис 17