Доверительный интервал и доверительная вероятность (классическая оценка)

Доверительным называют интервал ( ) , который с заданной доверительной вероятностью δ содержит истинное значение Х₀ искомой величина; ( ) и ( ) являются доверительными границами интервала. При этом обычно задаются стандартными значениями доверительной вероятности 0,9; 0,95; 0.99; 0,999.

Доверительной вероятностью называют вероятность δ того, что истинное значение Х₀ измеряемой величины содержится внутри заданного доверительного интервала ( ). При этом δ выражают либо в долях единицы (доверительная вероятность), либо в процентах (надежность).

В классической теории ошибок неизвестные σ и заменяют их приближенными значениями и ; вычисленными из опытных данных по формулам (34) и (35). Доверительную вероятность и доверительный интервал определяют по табл.1 интеграла вероятностей согласно уравнению (27). полагая

(36)

При этом результат измерений принято записывать в краткой символической форме:

(37)

Эту запись следует понимать в том смысле, что истинное значение Х₀ с заданной вероятностью δ находится внутри доверительного интервала ( ).

Классическим методом оценки точности результата измерений можно пользоваться лишь при выборке с большим числом ( 20) измерений.

Выборочной метод

В классическом методе для нахождения границ доверительного интервала при заданной надежности δ или наоборот, для определения δ по заданному ΔХ необходимо знать точное значение дисперсии σ² генеральной совокупности измерений. Из опытных данных нам известна лишь дисперсия случайной выборки из этой генеральной совокупности. А так как рассеяние результатов относительно средней арифметической всегда меньше рассеяния относительно истинного значения Х₀, то

Если мы для оценки доверительного интервала или доверительной вероятности воспользуемся табл.2 интеграла вероятностей, полагая при малом числе измерений п, то найдем неверные значения ΔХ (заниженные) и δ (завышенные). В этом заключается недостаток классического метода оценки точности результата измерений.

Оказывается, что и при неизвестной дисперсии σ^г можно дать точную оценку приближенного равенства Хр , если исходить не из распределения величины , а из распределения другой случайной величины

(38)

Распределение случайной величины t_δ(n) получил английский химик и математик В.С. Госсет, публиковавший свои работы под псевдонимом "Стьюдент" (студент). Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид:

(39)

где Г (n) - гамма функция Эйлера, являющаяся обобщением понятия факториала.

На рис.5 приведены графика распределения Стьюдента для разных значений п. При распределение (39) переходит в распределение Гаусса (23) и единичной дисперсией.

Распределение Стьюдента. аналогично распределению Гаусса, позволяет производить оценку точности результата измерений согласно выражению

(40)

Только .теперь вместо вводится коэффициент Стьюдента зависящий от числа измерений n и величины надежности δ .

Рис. 5

Для коэффициентов Стьюдента составлены подробные таблицы. Ниже приводится небольшая часть из них.

Таблица 2

Значения коэффициентов Стьюдента

n δ	0,9	0,95	0,99	0,999
1	2	3	4	5
2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∞	6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1,83 1,65	12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 1,96	63,66 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 2,58	636,62 31,60 12,84 8,61 6,86 5,96 5,40 5,04 4,78 3,29

Например, задавая доверительную вероятность δ =0.95, по числу проведенных измерений n=5 по табл. 2 можно найти = 2,78. Тогда, определив предварительно по формуле (35), найдем погрешность ∆X:

(41)

Выражение (41) ввиду малого объема информации дает границы доверительного интервала более широкими.

Результат измерения можно представить в виде:

при δ=0,95, n=5. (42)

Конечно, оценка (42) еще не дает представления об общей погрешности измерения, в которую входит и систематическая ошибка.

Совместный учет случайных и систематических ошибок можно произвести по формуле

При этом следует принять во внимание, что всегда имеет максимальное значение. Максимальное же значение случайных ошибок равно 3σ . Следовательно, для их равноправного учета необходимо предположить, что приборная погрешность β (или ∆_пр) равна утроенной дисперсии распределения погрешностей прибора 3σ_пр ,т.е. погрешности соответствующей надежности δ =0.997. Тогда за систематическую ошибку можно принять и общая погрешность выразится соотношением

(43)

Коэффициенты Стьюдента для проведенного числа измерений и бесконечного числа измерений находят по табл.2 для одной и той же заданной надежности δ.